Основания нумерологии

Число 9 обладает набором весьма интересных особенностей, выделяющих его из общего ряда натуральных однозначных чисел. К примеру, если сумма цифр какого-либо многозначного числа делится на 9, то и само это число будет делиться на 9. Разность двух многозначных чисел, составленных из одних и тех же цифр (когда одно число можно получить из другого путем перестановки цифр), всегда делится на 9 без остатка, и т.д. Этот набор особенностей числа 9 производит впечатление на людей недостаточно подготовленных в математике, наводя на мысль о некоторых его магических особенностях. На самом же деле все обстоит гораздо проще. Все эти свойства числа 9 являются следствием десятеричной системы счисления и легко доказываются математически, что ниже будет показано.

Выберем произвольную систему счисления по основанию N, целому, положительному, больше 1. Само число N в своей системе счисления будет выглядеть как 10. Любая целая (положительная, отрицательная и 0) степень числа N будет представлена как степени числа 10.

Ограничимся рассмотрением целых положительных чисел. Любое число при позиционной форме записи будет выглядеть как последовательность цифр А_i

(1) В = А_к А_к-1... А₀,

а математически представлять собой сумму степеней числа N с коэффициентами А_i при соответствующих степенях:

к к

(2) В = ∑А_i Nⁱ = ∑А_i 10ⁱ,

i=0 i=0

где В – число, А_i – цифры, из которых оно составлено, к – на единицу меньше количества цифр, которым это число записано в N-ричной системе счисления.

Пусть М = N – 1, на единицу меньше системы счисления. В частности при N = 10 таким числом будет 9. Произвольное целое число В может быть представлено как:

к к к i

(3) В = ∑А_i Nⁱ = ∑А_i (M + 1)ⁱ = ∑А_i ∑ C_jⁱ M ^j,

i=0 i=0 i=0 j=0

где С_jⁱ – биноминальные коэффициенты, вычисляемые по формуле:

(4) С_jⁱ = I! / (J! × (I – J)!),

где I! (I факториал) равняется произведению натуральных чисел от 1 до I включительно. 0! = 1 (по определению).

Последний член в разложении суммы (М + 1)^j в бином Ньютона всегда будет единицей, остальные члены будут содержать множители М. Разобьем каждый такой ряд на две группы. В одной сгруппируем все члены, которые содержат М в качестве сомножителя, в другую группу отнесем последний член разложения – единицу.

к к к i

(5) В = ∑А_i Nⁱ = ∑А_i (M + 1)ⁱ = ∑А_i ∑ C_jⁱ M ^j =

i=0 i=0 i=0 j=0

к i>0 к к i>0 к

∑А_i (1 + ∑ C_jⁱ M ^j) =∑А_i + ∑А_i ∑ C_jⁱ M ^j = ∑А_i + Р × M,

i=0 j=1 i=0 i=1 j=1 i=0

где Р – какое-то целое неотрицательное число.

Таким образом любое целое положительное число в N-ричной системе счисления может быть представлено как сумма цифр, его составляющих, плюс некоторое число кратное числу меньше системы счисления на единицу.

А отсюда уже получаются все «уникальные» свойства числа М. Если сумма цифр делится на М, то и само число будет делиться на М без остатка. Разность двух чисел, сумма цифр которых одинакова, тоже будет делиться на М без остатка. В частности, если одно число получено из другого путем перестановки его цифр, то их разность будет делиться на М без остатка. Если число М может быть разложено на сомножители, то этими же свойствами будут обладать и все сомножители, в него входящие.

В десятеричной системе счисления всеми этими «уникальными» свойствами обладает число 9 (это же относится к его единственному сомножителю – 3), что и послужило основанием для возникновения лженауки – нумерологии.

27.09.2007 Г.М. Герасимов