Возьмем на картографируемой поверхности окружность бесконечно малого радиуса и исследуем, как эта окружность будет изображаться в проекции.
Известно, что масштаб длин в данной точке зависит от азимута азимуту на картографируемой поверхности в проекции соответствует азимуту масштаб по этому направлению азимуту на поверхности соответствует в проекции азимут по этому направлению масштаб длин и т.д. (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Эллипс искажений
Из точки которая является изображением заданной на картографируемой поверхности точки проведем направления, составляющие с направлением меридиана, принятым за ось углы и т.д. На этих направлениях отложим отрезки, численно равные значениям масштаба длин и т.д.
Соединив конечные точки этих отрезков, мы получим кривую, которая характеризует изменение масштаба длин в зависимости от азимута.
Приняв точку за начало прямоугольных координат и за полюс плоских полярных координат , можем написать
(15)
откуда
(16)
Подставим значения формулы (16) и в формулу (13) и получим уравнение центральной кривой второго порядка
|
|
Из этого уравнения определим дискриминант
и установим, что исследуемая кривая является эллипсом. Следовательно, бесконечно малый эллипс в каждой точке на карте, являющийся изображением бесконечно малого круга на поверхности эллипсоида или шара, называется эллипсом искажений*.
Численные величины полуосей этого эллипса соответствуют величинам экстремальных масштабов, а величины двух сопряженных полудиаметров – величинам масштабов по меридианам и параллелям (рис. 2.3); при этом полудиаметр, совпадающий с направлением меридиана, повернут относительно большой полуоси эллипса на угол
* Понятие эллипса искажений ввел в математическую картографию Тиссо.
Рис 2.3. Элементы эллипса искажения
Ориентировку эллипса искажений относительно линий меридианов и параллелей определим из общего уравнения эллипса. Для этого примем, что меридианы и параллели проходят через оси и совпадающими с главными направлениями
Координаты точки этого эллипса могут быть поучены из треугольника (см. рис. 2.3)
тогда
Известно, что
откуда
(17)
Для того, чтобы построить эллипс в заданной точке проекции, желательно знать шесть указанных выше величин:
Применяя к эллипсу положения Аполлония, найдем формулы связи экстремальных масштабов с масштабами по меридианам и параллелям.