Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Предположим, что на колебательную систему все время дейст­вует вынуждающая сила, изменяющаяся со временем по гармони­ческому закону

F = F₀ cosw t, (69)

где F₀ - амплитуда силы. Очевидно, вынуждающая сила изменя­ется со временем с периодом T = 2 p / w. Она совершает работу, знак которой зависит от разности фаз между силой и скоростью движе­ния тела. Когда направления движения тела и вынуждающей силы совпадают, то она совершает положительную работу, ускоряя дви­жение колеблющегося тела. Если же направления движения тела и вынуждающей силы противоположны, то она совершает отрица­тельную работу, тормозя движение колеблющегося тела. С течени­ем времени это приводит к тому, что тело вынуждено совершать колебания с той же частотой, с какой изменяется вынуждающая сила.

В случае малых механических колебаний, когда сила сопротивления пропор­циональна скорости в соответствии со вторым законом динамики, уравнение движения имеет вид

, (70)

где (- kx) - возвращающая сила; (- r ) - сила сопротивления; F₀ cosw t -вынуждающая сила.

Учитывая, что w₀² = k / m, d = r /(2 m) и обозначив f_o = F / m,уравнение (70) можно переписать в виде:

(71)

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка описывает вы­нужденные колебания в механической системе, например, колебания маятника. Решение его, как доказывается в курсе выс­шей математики, состоит из суммы x₁(t) - общего решения урав­нения (52) и x₂ (t) - частного решения уравнения (71).

Решение уравнения (52) x₁(t), как установлено ранее,записывается в виде

x₁(t) = A₀ e^{-d t} cos (w t+j) (72)

где w = , характеризует свободные, затухающие по экспоненциальному закону колебания, начальная амплитуда и фаза которых зависят от начальных условий. Эти колебания через не­которое время, называемое временем установления вынужденных колебании, практически исчезают. В установившемся режиме решение уравнения (71) ищем в виде:

x = A cos (w t - j) (73)

где A - амплитуда вынужденных колебаний и j - сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой (в данном случае начальную фазу удобнее обозначать через - j). Их можно определить из условия, согласно которому подстановка выражения (73) в уравнение (71) должна приводить к тождеству. Тогда получим:

А = (74)

tgj = (75)

Подставив в (73) значения A и j, определяемые формулами (74) и (75), получим частное решение (установившийся режим) неоднородного уравнения (71):

X = cos (w t - arctg ) (76)

Функция (76) в сумме с функцией (72) дает общее решение уравнения (71), описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Таким образом, функция (76) описывает установив­шиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и обратно пропорциональна массе системы. Кроме того, амплиту­да установившихся вынужденных колебаний обратно пропорцио­нальна коэффициенту затухания d и уменьшается с его увеличе­нием.

Уравнение (71) и его решение (76) справедливо для вынужденных колебаний любой физической природы. Таким образом, общее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний осциллятора, характеризуемого обобщённым параметром S, имеет вид:

(77)

Если изменения какого-либо параметра системы описываются

дифференциальным уравнением (77), то в этот процесс представляет собой вынужденные колебания. Решение этого уравнения в установившемся режиме имеют вид аналогичный уравнениям (73) - (75).