Модель линейной парной регрессии

В модели парной линейной регрессии зависимость между переменными в генеральной совокупности представляется в виде

где X — неслучайная величина, а Y и e — случайные величины.

Величина Y называется объясняемой (зависимой) переменной, а X — объясняющей (независимой) переменной. Постоянные a, b — параметры уравнения.

Наличие случайного члена e (ошибки регрессии) связано с воздействием на зависимую переменную других неучтенных в уравнении факторов, с возможной нелинейностью модели и ошибками измерения.

На основе выборочного наблюдения оценивается выборочное уравнение регрессии (линия регрессии):

где (а, b) — оценки параметров (a, b).

Коэффициенты a и b вычисляются по формулам:

Для вычисления этих коэффициентов можно воспользоваться функциями Excel:

коэффициент a вычисляется с помощью функции ОТРЕЗОК(изв_значение_y; изв_значение_x);

коэффициент b вычисляется с помощью функции НАКЛОН(изв_значение_y; изв_значение_x).

Линия регрессии (расчетное значение зависимой переменной) имеет вид:

или

Линия регрессии проходит через точку и выполняются равенства: , .

Коэффициент b есть угловой коэффициент регрессии,он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная y при увеличении независимой переменной х на единицу. Постоянная a дает прогнозируемое значение зависимой переменной при x = 0. Это может иметь смысл в зависимости от того, как далеко находится x = 0 от выборочных значений x.

После построения уравнения регрессии наблюдаемые значения y можно представить как , где остатки e_i, как и ошибки e_i, являются случайными величинами, однако они, в отличие от ошибок e_i, наблюдаемы.

Выборочные дисперсии величин y, , e вычисляются по формулам:

¾ дисперсия наблюдаемых значений y;

¾ дисперсия расчетных значений y;

¾ дисперсия остатков.