Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений для любых наблюдений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью; невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью.
В качестве примера реальной гетероскедастичности можно сказать, что люди с большим доходом не только тратят в среднем больше, чем люди с меньшим доходом, но и разброс в их потреблении также больше, поскольку они имеют больше простора для распределения дохода.
При гетероскедастичности последствия применения МНК будут следующими:
1. Оценки параметров останутся по-прежнему несмещенными и линейными.
2. Оценки не будут эффективными, т.е. не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра. Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.
3. Дисперсии оценок параметров будут рассчитываться со смещением.
|
|
4. Все выводы, получаемые на основе соответствующих t – и F – статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а t – статистики завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, которые таковыми на самом деле не являются.
В ряде случаев, зная характер исходных данных, можно предвидеть гетероскедастичность и попытаться устранить её ещё на стадии спецификации. Однако значительно чаще эту проблему приходится решать после построения уравнения регрессии.
Графическое построение отклонений от эмпирического уравнения регрессии позволяет визуально определить наличие гетероскедастичности.
В настоящее время для определения гетероскедастичности разработаны специальные тесты и критерии для них.
Тест ранговой корреляции Спирмена. При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонений будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений х. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений | ei | и значения xi будут коррелированы. Затем определяется коэффициент ранговой корреляции.
Тест Голдфелда – Квандта. В данном случае предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению переменной xj, т.е. . Предполагается, что остатки имеют нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.
Тест состоит в следующем:
1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине xj.
2. Вся упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки размерностей k, n-2k и k соответственно.
|
|
3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений).
В случае, если дисперсии отклонений известны для каждого наблюдения, применяется метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК). Гетероскедастичность устраняется, если разделить каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение дисперсии.