1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов.
2º. Для решения любых алгебраических уравнений
вида (1) или вида (2) , где x1, x2, …, xn – действительные числа, удовлетворяющие условию x1 < x2 < …< xn, а k1, k2, …, kn – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов.
Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x1, x2, …, xn, в промежутке справа от xn ставят знак +,
затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку xi меняют знак, если ki - нечетное число и сохраняют знак, если ki - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак –.
Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q (x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены.
|
|
Пример 11. Решить неравенство .
Решение: Находим корни квадратного трехчлена :
Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3].
Ответ: .
Пример 12. Решить неравенство .
Решение:
Находим корни числителя и знаменателя:
Указанная система равносильна следующей системе:
Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус.
Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус.
Ответ: .