2015-01-30
775
При тех же условиях (1) найдем реакцию (N1) направляющих в момент времени
t1 = 2 с. Опять рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы 
, 
и реакцию 
(см. рис. 7.7). Для определения N1, воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось y:
или 
, (9)
где т – масса системы; Р1 = m1g; Р2 = m2g. Из формулы, определяющей ординату (уС)центра масс системы, следует, что для рассматриваемой системы: туС = т1уС1 + т2уD, где (как видноиз рис. 7.7) уС1 = h, yD = 2h – l cos φ. Тогда, используя равенство (7), получим:
.
Вычисляя производные и учитывая, что h = const, получим:
;
.
Подставив найденное значение 
в равенство (9), найдем зависимость N от t и из нее, полагая t = t1 = 2 с, определим искомую величину N1.
Ответ: N1 = 197,3 H.
4. Определение угловой скорости ω
Плита вращается вокруг оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. 7.9), и в момент времени t0 = 0, когда угловая скорость плиты равна ω0, на нее начинает действовать вращающий момент М.
|
|
|
Дано: дополнительно к условиям (1): ω0 = 5 с-1; М = kt, где k = 10 Н·м/с.
Определить: ω = f (t) – зависимость угловой скорости плиты от времени.
Решение
Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести , , реакции 
и 
подпятника и подшипника и вращающий момент М. Для определения ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z. Предварительно заметим, что, так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда 
, и согласно теореме имеем:
или 
. (10)
Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим:
. (11)
Для рассматриваемой механической системы
, (12)
где 
и 
– кинетические моменты относительно оси z плиты и груза D соответственно. Поскольку плита вращается вокруг оси z, то
, где 
. (13)
Для определения рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а вращение плиты вокруг оси z – переносным движением. Тогда 
, и по теореме Вариньона имеем:
. (14)
Но вектор 
лежит в одной плоскости с осью z и, следовательно, 
. Вектор 
направлен перпендикулярно плите (как ось х, если ось у в плоскости плиты); по модулю 
. Тогда 
. Ноиз рис. 7.9 видно, что 
. Взяв значение sin φ из формулы (3) и подставив все найденные величины в равенство (14), получим:
. (15)
Зная и (формулы (13) и (15)), найдем из равенства (12) значение 
; тогда уравнение (11) примет вид:
или при числовых значениях задачи
. (16)
Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при t = 0
ω = ω0 = 5 с-1; получим С1 = 128. При этом значении С1 из уравнения (16) находим искомую зависимость ω от t.
|
|
|
Ответ: 
.
Примечание. Из полученного результата можно найти и значение ω1, при t = t1. Но если по условиям задачи одновременно М = 0, то уравнение (10) дает Kz = const, и тогда проще не искать зависимость ω от t в общем виде, а сначала определить положение груза D при t = 0 (т.е. угол φ0) и вычислить значение Кz0 при φ = φ0, и ω=ω0 с помощью равенств, аналогичных (11) – (15); затем определить положение груза при t = t1, (угол φ1) и тем же путем найти Кz1 при φ = φ1, и ω=ω1.
Так, в рассмотренном примере при t = 0 будет φ0 = π /2 и DD1 = 2 l (рис. 7.9), а при
t = t1 = 2 с будет φ1 = – π /6 и DD1 = l /2. Тогда
.
Значение ω1 находится из равенства: 
.
