, (113)
с начальными условиями
, (114)
и граничными условиями
. (115)
Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций (94)
,
т.е. в форме разложения
, (116)
считая при этом t параметром.
Пусть функции f(x,t) является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную 1-го порядка по х и при всех t >0 выполняются условия
.
Предположим теперь, что функции f(x,t) и можно разложить в ряд Фурье по синусам
, (117)
где
(118)
и
, (119)
где
. (120)
Подставим (116) в уравнение (113) и с учетом (117), получим
.
Это равенство выполняется тогда, когда
, (121)
или, если , то это уравнение (121) можно записать в виде
. (122)
Пользуясь начальным условием (114) с учетом (116), (117) и (119) получаем, что
,
откуда
. (123)
Таким образом, для нахождения искомой функции приходим к задаче Коши (122), (123) для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пользуясь формулой Эйлера можно записать общее решение уравнения (122)
,
а с учетом (123) решение задачи Коши
.
Следовательно, когда мы подставим значение этой функции в выражение (116), в итоге получим решение исходной задачи
|
|
(124)
где функции f(x,t) и определены формулами (118) и (120).
Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения параболического типа
(14.1)
при начальном условии
(14.2)
и граничных условиях
. (14.3)
▲ Подберем сначала такую функцию v, чтобы удовлетворяла граничным условиям (14.3). Пусть, например, v = xt 2. Тогда
Следовательно, функция определяемая как
(14.4)
удовлетворяет уравнению
(14.5)
однородным граничным условиям
(14.6)
и нулевым начальным условиям
. (14.7)
Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения
при условиях (14.6), (14.7), положим
.
Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:
, .
Решая эту задачу, находим собственные значения
и соответствующие им собственные функции
. (14.8)
Решение задачи (14.5)-(14.7) ищем в виде ряда
, (14.9)
где
(14.10)
Подставив из (14.9) в (14.5) получим
. (14.11)
Для нахождения функции Tn(t) разложим функцию (1- х) в ряд Фурье по системе функций (14.8) на интервале (0,1):
. (14.12)
Так как
,
и из (14.11) и (14.12) получаем уравнение
, (14.13)
которое является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение найдем по формуле Эйлера
а с учетом условия (14.10), найдем решение задачи Коши
. (14.14)
Из (14.4), (14.9) и (14.14) находим решение исходной задачи (14.1)- (14.3)
.▲