Задачи для самостоятельной работы по теме 10

10.1. По результатам 8 замеров установлено, что среднее время изготовления детали 48 с. Предполагая, что время изготовления есть нормальная случайная величина с 3 с, необходимо:

а) проверить на уровне значимости 0,01 гипотезу 50 c. против конкурирующей гипотезы 45 с.;

б) вычислить мощность критерия;

в) проверить на уровне значимости 0,01 гипотезу 50 c. против конкурирующей гипотезы 50 c.

10.2. На контрольных испытаниях 16 ламп было определено 297 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально с 20 ч, необходимо:

а) проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу 300 ч против конкурирующей гипотезы 290 ч;

б) вычислить мощность критерия;

в) на уровне значимости 0,08 проверить гипотезу 300 ч при конкурирующей гипотезе 300 ч.

10.3. В таблице приведены данные об урожайности пшеницы на 8 опытных участках одинакового размера.

Участки
Урожайность (ц/га)	26,5	25,2	28,9	30,1	32,3	29,3	26,1	25,0

Предполагается, что урожайность пшеницы есть нормальная случайная величина. Требуется:

а) на уровне значимости 0,1 проверить гипотезу 28 ц/га против конкурирующей гипотезы 30 ц/га;

б) по условию а) вычислить мощность критерия;

в) проверить на уровне значимости 0,002 гипотезу 29 ц/га против конкурирующей гипотезы 29 ц/га.

10.4. При обработке данных 7 испытаний спортивного катера по­лучены следующие значения его максимальной скорости: 38, 49, 42, 46, 45, 41, 39 км/ч. Полагая, что максимальная скорость катера имеет нор­мальное распределение, проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу 45 км/ч:

а) при конкурирующей гипотезе 40 км/ч,

б) при конкурирующей гипотезе 45 км/ч;

в) по условию а) задачи вычислить мощность критерия.

10.5. По данным 12 рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на поездку до хлебоприемного пункта 73 мин. Допустив, что время поездки есть нормальная случайная величина, на уровнях значимости 0,05 и 0,1 проверить гипотезу 75 мин:

а) при конкурирующей гипотезе 72 мин, если известно, что 4 мин;

б) при конкурирующей гипотезе 72 мин, если выборочное среднее квадратическое отклонение равно 4 мин;

в) для условий а) и б) вычислить мощность критерия.

10.6. При 7 независимых измерениях диаметра поршня одним и тем же прибором получены следующие результаты: 82,45; 82,30; 82,48; 82,05; 82,45; 82,60; 82,46 мм. В предположении, что ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат сис­тематической ошибки на уровнях значимости 0,05 и 0,2, проверить гипотезу 0,02 мм²:

а) при конкурирующей гипотезе 0,05 мм²;

б) при конкурирующей гипотезе 0,02 мм²;

в) при конкурирующей гипотезе > 0,02;

г) для условия а) вы­числить мощность критерия.

10.7. На основании 12 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна 67 мм и 0,7 мм. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина, на уровне значимости 0,01 проверить гипотезу 0,5 мм²:

а) при кон­курирующей гипотезе 0,1 мм²;

б) при конкурирующей гипо­тезе 0,5 мм²;

в) при конкурирующей гипотезе >0,5 мм²;

г) по условию а) задачи вычислить мощность критерия.

10.8. Точность работы автоматической линии проверяют по дис­персии контролируемого признака, которая не должна превышать 0,11. По результатам выборочного контроля получены следующие данные:

Контролируемый размер	63,0	63,5	63,8	64,4	64,6
Частота

Требуется проверить на уровне значимости 0,01, обеспечивает ли ли­ния требуемую точность.

10.9. Из продукции двух автоматических линий, обрабатывающих корпуса вентилей одного типоразмера, взяты выборки объемом соот­ветственно 14 и 9 корпусов. По результатам выбороч­ных наблюдений найдено 182 мм, 185 мм. Предварительно установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случай­ные величины с дисперсиями 5 мм² и 7 мм². Требует­ся на уровнях значимости 0,025 и 0,075 проверить гипотезу :

а) при конкурирующей гипотезе ;

б) при конку­рирующей гипотезе .

10.10. По двум независимым выборкам объемом 25 и 12, извлеченным неформальных генеральных совокупностей, най­дены выборочные средние 1350 и 1375. Дисперсии генераль­ных совокупностей известны - 120 и 100. На уровне зна­чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конку­рирующей гипотезе .

10.11. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:

Расход сырья ;
Число изделий

Расход сырья по новой технологии составил:

Расход сырья
Число изделий

Предположив, что расходы сырья в обоих случаях есть нормальные слу­чайные величины с одинаковыми средними квадратическими отклонениями и генеральными средними и , проверить на уровне значи­мости 0,1 нулевую гипотезу против конкурирующей ги­потезы: а) ; б) .

10.12. Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих одно­типные изделия, взяты выборки объемом 10 и 13. По результатам выборок найдены 82,7 мм, 82,3 мм, 0,8 и 1,1. В предположении о нормальном законе распределения погрешностей изготовления требуется на уровне значимости 0,01 проверить гипотезу при конкурирующей гипотезе: а) ; б) .

10.13. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две выборки объемом 10 и 9. По результатам измерения контролируемого размера вычислены выборочные дисперсии 0,95, 2,75 и 64,3 мм, 64,8 мм. На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу против конкурирую­щей гипотезы .

10.14. По результатам двух независимых выборок объемом 9 и 15, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии 24,1 и 8,6, а также 46,9 мм и 47,2 мм. Проверить на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей, т.е. при конкурирующей гипотезе .

10.15. По четырем независимым выборкам объемом 11, 15, 16 и 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные дисперсии, равные соответст­венно 3,5; 2,5; 4,0; 5,5. Проверить на уровне значимости 0,02 ги­потезу об однородности дисперсий .

10.16. Сравнивают точность обработки деталей на четырех стан­ках. Наибольшую точность имеет тот станок, дисперсия контролируе­мого параметра которого меньше. На первом станке обработано 8 деталей, на втором - 12, на третьем и четвертом по 16 деталей. Исп­равленные выборочные дисперсии соответственно равны: 0,0051; 0,0038; 0,0064; 0,0028. Допустив, что ошибки изготовления распре­делены нормально, на уровне значимости 0,025 проверить гипотезу о том, что все станки имеют одинаковую точность.

10.17. Три фасовочных автомата настроены на отвешивание одного и того же веса. С целью проверки точностных характеристик автома­тов из их продукции взяты выборки объемом 14; 16; 20. Контрольные взвешивания на эталонных весах показали, что величина отклонения веса продукции от заданной величины составила (в граммах):

На первом автомате
Отклонение
Частота
На втором автомате
Отклонение
Частота
На третьем автомате
Отклонение
Частота

Требуется:

а) проверить на уровне значимости 0,1 гипотезу о ра­венстве точностных характеристик (дисперсий) фасовочных автоматов;

б) найти оценку генеральной дисперсии.

10.18. Пять станков-автоматов выполняют однотипную технологи­ческую операцию. Из продукции каждого станка для контрольных изме­рений взято по одной выборке из 11 деталей. По результатам выбо­рочных измерений найдены несмещенные оценки дисперсий : 0,0121; 0,0256; 0,0196; 0,0336; 0,0161. Допустив, что погрешность изготовления есть нормальная случайная величина, проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что точечные характеристики (дисперсии) станков равны.

10.19. С целью анализа влияния 4 марок удобрений на урожай­ность пшеницы каждым типом удобрений обработано по 10 опытных участков. Исправленные значения выборочных дисперсий, характеризу­ющие вариацию урожайности на участках , равны: 0,26; 0,36; 0,89; 0,47 ц/га. Требуется на уровне значимости 0,01 проверить ги­потезу о равенстве дисперсий, т.е. о независимости вариации уро­жайности от марки удобрения.

10.20. Из продукции 4 станков проконтролировано соответствен­но 150, 50, 100 и 175 изделий, из кото­рых оказались дефектными 20; 8; 15 и 30 изделий. На уровне значимости 0,01 и 0,05 проверить гипотезу о том, что вероятности появления дефектного изделия на всех станках рав­ны, т.е. .

10.21. Во время экзаменов студентам были предложены задачи из семи разделов изучаемого курса. Результаты экзамена приведены в таблице.

Номер раз­дела курса
Число предложенных для решения задач
Доля решен­ных задач	0,855	0,509	0,522	0,484	0,860	0,412	0,420

Требуется на уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о том, что вероятность решения студентами задачи не зависит оттого, к какому разделу она относится, т.е. для всех .

10.22. В механическом цехе завода фланцы крышек обрабатывают на 7 агрегатных станках. Результаты контроля за качеством крышек приведены в таблице.

Номер станка
Число проконтролированных крышек
Доля дефектных изделий	0,018	0,012	0,002	0,003	0,015	0,084	0,005

Необходимо на уровне значимости 0,001 проверить гипотезу о том, что качество продукции не зависит оттого, на каком станке она изготовлена, т.е. .

10.23. Контрольную работу выполнили студенты шести групп пер­вого курса. Результаты контрольной работы приведены в таблице.

Шифр группы
Число предложенных для решения задач
Число правильно решенных задач

Требуется на уровне значимости 0,025 проверить нулевую гипотезу о том, что не имеется различий в усвоении темы студентами различных групп потока.

10.24. Поставщик ламп накаливания утверждает, что средний срок службы равен 3000 ч. Для выборки из 30 ламп средний срок службы ра­вен 2845 ч при среднем квадратическом отклонении 685 ч. Требуется:

а) проверить справедливость утверждения поставщика при уровне значимости 0,05;

б) при 2900 ч вычислить мощность критерия.

10.25. По данным коммерсанта он получает заказы от 30% предпо­лагаемых клиентов. Можно ли считать точным его утверждение при уров­не значимости 0,1, если коммерсант получил заказы от 25 из 100 слу­чайно отобранных потенциальных клиентов.

10.26. Согласно рекламе, применение предполагаемых удобрений повышает урожайность пшеницы не менее, чем на 5 ц/га. Удобрения вносили в почву на 26 га, в результате чего был получен урожай на 4 ц/га выше, чем на контрольном поле, при среднем квадратическом отклонении 2 ц/га. Проверить справедливость утверждения рекламы при уровне значимости 0,01 или 0,05.

10.27. Удобрения двух марок вносили в почву соответственно на 15 и 14 га. На этих полях средняя урожайность пшеницы составила 33,2 и 32,3 ц/га при средних квадратических отклонениях 3 и 4 ц/га. Можно ли при уровне значимости 0,05 отдать предпочтение одной из марок удобрений по их влиянию на урожайность?

10.28. Продюсер телевизионной передачи утверждает, что она привлекла не менее трети телезрителей. Из 168 опрошенных телезри­телей каждый четвертый смотрел передачу. Требуется:

а) на 5%-ном уровне значимости проверить справедливость утверждения продюсера;

б) при 0,01 сравнить по популярности эту передачу с другой, которая одновременно с первой шла по одной из программ, но которую смотрело 50 телезрителей из опрошенных.

10.29. Средний срок службы 15 подвергнутых испытанию батареек первой фирмы оказался равным 121 ч при среднем квадратическом отклонении 2 ч. По данным испытаний 10 батареек второй фирмы сред­ний срок службы равен 118 ч при 3 ч. Требуется сравнить каче­ство батареек этих фирм по сроку службы на 5%-ном уровне значимо­сти.

10.30. Средний дневной объем продаж для 15 торговых точек од­ного района составляет 3,6 млн. руб. при среднем квадратическом отклонении 0,6 млн. руб., а 10 торговых точек другого района характеризуется соответственно значениями 3,4 млн. руб. и 0,5 млн. руб. Требуется:

а) сравнить объемы продаж в этих районах на 5%-ном уровне значимости;

б) проверить значимо ли превышение объема продаж в первом районе по сравнению со вторым при 0,1;

в) определить в чем различие вопросов а) и б).

10.31. В таблице указано число телезрителей (мужчин и жен­щин), проявивших положительное, безразличное и отрицательное отно­шение к рекламной телевизионной передаче.

Отношение к рекламе	Пол
Мужчины	Женщины
Положительное
Безразличное
Отрицательное

Требуется при уровне значимости 0,01 сравнить телезрителей по их отношению к рекламе с учетом пола.

10.32. В целях изучения изменений в потребительском спросе ав­томобильная фирма провела опрос вошедших в случайную выборку 50 мужчин и 50 женщин, которые в предыдущем году купили автомобили этой фирмы. В таблице приведены ответы опрошенных относительно установки наиболее важных дополнительных устройств, Обеспечиваю­щих повышение безопасности.

Покупатели	Дополнительные устройства
	Дисковые тормоза	Складывающееся рулевой колесо	Автоматиче­ские двер­ные замки	Сигнал повышения скорости
Мужчины
Женщины

Проверить при 0,05 имеются ли существенные расхождения во взглядах мужчин и женщин - владельцев автомобилей на дополни­тельные устройства.

10.33. Фирма, выпускающая прибор, провела маркетинговое иссле­дование, опросив 100 покупателей. Полученные данные о месте покуп­ки изделия и источнике сведений о нем приведены в таблице:

Источник сведений	Место покупки
Универмаг	Магазин с низкими ценами	Специализи­рованный магазин
Друзья
Газеты
Журналы

Руководство фирмы предполагает, что сбыт прибора одинаков че­рез магазины всех трех типов. Проверьте это предположение на 5%-ном уровне значимости.

10.34. В рекламе фирмы утверждается, что картофель, выращен­ный по голландской технологии, дает урожайность не ниже 43 ц/га. По этой технологии картофель вырастили на площади 23 га, получив при этом урожай в среднем 42 ц/га при среднем квадратическом откло­нении 1,5 ц/га. Необходимо проверить справедливость утверждения рек­ламы при уровне значимости 0,05.

10.35. Из продукции трех швейных цехов проконтролировано соот­ветственно 125, 40 и 78 изделий, из которых оказались дефектными соответственно 10, 4 и 7 швейных изделий. Требуется на 5%-ном уровне значимости сравнить вероятности появления дефектного изде­лия в этих цехах.

10.36. Требуется сравнить при 0,05 производительность труда в строительных организациях, имеющих организационно-право­вые формы в виде акционерного общества закрытого типа и товарище­ства с ограниченной ответственностью. Анализ показал, что на 25 предприятиях первого типа средняя производительность труда соста­вила 6,8 млн. руб. на одного работника при 0,6 млн. руб., а на 13 предприятиях второго типа 6,2 млн. руб. при 0,8 млн. руб.

10.37. Независимые эксперты утверждают, что не менее 1/3 без­работных не обращаются в службу занятости, а находят работу само­стоятельно с помощью рекламы. Из 208 опрошенных безработных каж­дый четвертый действительно не обращался в службу занятости. Тре­буется при 2%-ном уровне значимости:

а) проверить справедливость утверждения экспертов;

б) сравнить долю безработных, не обращающихся в службу заня­тости, и долю безработных, нашедших работу на основании рекламы, если число последних среди опрошенных равно 40.

10.38. По данным рекламы использование новой БИС (большой ин­тегральной схемы) позволяет повысить быстродействие компьютера на 16 тыс.оп/с при 1 тыс.оп./с. Проверить на 1%-ном уровне значимости добросовестность рекламы.

10.39. Утверждается, что применение рекламируемого препарата пищевой добавки, разрушающей жировой слой, позволяет снизить вес за 1 месяц его применения в среднем на 7 кг. В результате обсле­дования 27 человек, употребляющих данный препарат, установлено, что они похудели в среднем на 6 кг при 1,5 кг. Требуется проверить при 0,05 добросовестность рекламы.

10.40. Сторонники строительства крупной ГЭС утверждают, что более половины населения области поддерживают данное строительст­во. Из 345 опрошенных жителей 42$ высказались за данный проект, а 25% - за строительство малых ГЭС. Требуется при 5%~ном уровне значимости:

а) проверить справедливость утверждения сторонников крупной ГЭС;

б) сравнить количество сторонников крупной и малых ГЭС.