Подавляющее большинство производственных процессов в строительстве, как известно, в силу их специфики носят характер случайных процессов. Достаточно упомянуть, например, все технические нормы, основанные на ЕНиР, технологические процессы и операции, лежащие в основе выполнения строительно-монтажных работ. Поэтому для количественного анализа случайных процессов необходимо знание закона их распределения (функции или плотности распределения), математического ожидания и дисперсии случайных величин [7].
1.Закон равномерной плотности.
Он справедлив для тех случаев, когда случайное событие лежит в определенном временном интервале, причем появление его в любой момент времени равновероятно.
Например, при производстве монтажных работ методом «монтажа с колёс» доставка на объект сборных железобетонных конструкций должна осуществляться по специальным графикам с жестко установленным интервалом T минут. Необходимо установить закон распределения времени ожидания монтажного звена tож=х, если монтажники освободятся в произвольный момент времени. В данном случае ясно, что благоприятное событие (т.е. прибытие трейлера с конструкциями) распределено равномерно на временном интервале T и плотность распределения постоянна, т.е. , на всем участке действия закона от до , как это видно из следующего рисунка (рис.13 а), б)).
|
|
Рис. 13. Графическое выражение закона равномерной плотности.
Поскольку событие заведомо произойдет на интервале времени T, то вероятность его равна 1. Отсюда плотность распределения
, а интегральная функция распределения [т.е. F(x)=P( <x) – вероятность того, что случайная величина будет меньше числа х]
Для количественного анализа случайных процессов, кроме рассмотренных функций распределения необходимо также знание и таких характеристик, как математическое ожидание M и дисперсия D.
Так, для закона равномерного распределения математическое ожидание
Соответственно, дисперсия в этом случае определяется по формуле
=
Зная дисперсию, легко определить среднее квадратичное отклонение:
Указанные формулы M[x] и D[x] справедливы для непрерывных случайных величин.
Для дискретных случайных величин в теории вероятностей даются следующие формулы:
2. Закон экспоненциального или показательного распределения.
Распределение по этому закону является одним из наиболее распространенных в строительном производстве, не только благодаря своей простоте, но и соответствия характера распределения отказов в реальных производственных системах, состоящих из большого количества элементов.
Функция распределения (интегральная) экспоненциального закона имеет следующий вид:
|
|
,
где
– интенсивность отказов
А плотность распределения соответственно равна
Графически эта зависимость выражается известной кривой (рис.14):
Математическое ожидание для показательной функции имеет вид:
,
а дисперсия:
Нетрудно заметить, что D[x]=(M[x])2
Это свойство экспоненциального закона распределения можно использовать для приблизительной оценки при описании экспериментальных данных (с точки зрения соответствия их экспоненциальному закону).
3. Закон нормального (Гауссова) распределения.
В строительстве этому закону соответствуют распределения таких фактических данных, как, например, нормы выработки рабочих и машин, продолжительность технологических этапов, сроки строительства типовых объектов и ряд др.
Плотность распределения нормального закона записывается в следующем виде:
где
a=M[x] – математическое ожидание;
=D[x] – дисперсия распределения.
Кривая плотности распределения имеет вид (рис.15):
Рис. 15. График нормального закона распределения.
Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на заданный интервал измерения параметра x от до обычно определяется интегрированием плотности распределения, т.е.
При этом в процессе решения используется известная функция или так называемый оператор Лапласа:
4. Закон распределения Пуассона. - наиболее успешно используется для определения вероятности дискретных событий или появления потока событий. Если независимые события следуют с известной средней частотой t=a, то вероятность того, что за какой-то отрезок времени t событие наступит n раз, определяется законом Пуассона:
Как видно из формулы, особенностью пуассоновского распределения является его зависимость лишь от одного параметра – математического ожидания числа наступления события за время t. В теории вероятностей доказывается, что дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, так же равна , т.е. D[t]= . Это обстоятельство упрощает количественный анализ пуассоновских процессов. Интересно также и то, что, как видно из графика (рис.16), при больших пуассоновское распределение по своему характеру близко к нормальному.
Рис.16. Пример распределения Пуассона.
В строительстве законом Пуассона описываются такие, например, события, как число отказов, возникающих при монтаже здания или сооружения в течение суток, месяца, года или количество случаев поломок землеройных и землеройно-транспортных машин при производстве земляных работ, взятых за соответствующий период времени (месяц, квартал, год и т.д.).
Кроме рассмотренных, существует еще множество других распределений – бета, гамма, Стьюдента, Фишера, Релея и др., которые значительно реже используются при анализе строительных процессов и поэтому нами не рассматриваются.