Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения вероятностей

называется распределенной по показательному закону с параметром l (l > 0).

Так как

,

то приведенное определение корректно.

Функция распределения показательно распределенной случайной величины X

Графики функций f (x) и F (x) при значениях параметра l, равных 1 и 2, приведены на рисунках 16 и 17.

Рисунок 16 – Графики функции f (x) показательного распределения	Рисунок 17 – Графики функции F (x) показательного распределения

Несложно доказать, что для случайной величины X, распределенной по показательному закону,

, .

Коэффициент асимметрии A [ X ] = 2.

Коэффициент эксцессаслучайной величины, распределенной по показательному закону, положителен и равен 6: Ex [ X ] = 6.

В природе и технике существует множество явлений, которые могут быть, по крайней мере, приближенно, описаны показательным законом распределения. Так, в общем случае, результаты измерений временных показателей хорошо аппроксимируются экспоненциальным распределением. В качестве примеров можно привести измерение продолжительности телефонных переговоров, продолжительность пользования Интернетом, период работы оборудования до отказа, а также различные виды «задач обслуживания» (например, измерение времени безотказной работы оборудования, времени ремонта и т. п.).

Пример 37 Время безотказной работы радиоэлектронного оборудования является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Определить вероятность безотказной работы оборудования более десяти часов, если среднее время безотказной работы по статистическим данным составляет 200 часов.

Решение. Согласно условию, математическое ожидание случайной величины X, обозначающей время безотказной работы оборудования, равно 200. Учитывая, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, M [ X ] = 1/l, определяем значение параметра l = 1/ M [ X ] = = 1/200 = 0,005. Функция плотности распределения данной случайной величины X

Определим вероятность безотказной работы оборудования более десяти часов эксплуатации:

.

Пример 38 Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l = 3. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что случайная величина Х примет значения меньше 2. Построить график плотности распределения случайной величины Х.

Решение. Согласно условию l = 3. Учитывая, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, M [ X ] = 1/l, определяем M [ X ] = 1/3= 0,333. Дисперсия

Функция плотности распределения данной случайной величины X

Определим вероятность того, что величина примет значения меньше 2:

На рисунке 18 штриховкой выделена фигура, площадь которой равна вероятности

Рисунок 18 – График плотности распределения вероятностей
показательного закона