Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
Для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от.
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал .
Так как , то
Т.е.
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).
|
|
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.