Метод простых итераций

Суть метода простых итераций в принципе совпадает с методом, изложенным для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нелинейного уравнения метод основан на переходе от уравнения

f (x) = 0 (2)

к эквивалентному уравнению x = φ (x). Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f (x). Например, можно положить

φ (x) = x + bf (x), (3)

где b = const, при этом корни исходного уравнения (2) не изменятся.

Если известно начальное приближение к корню x ₀, то новое приближение x ₁ = φ (x ₀), т.е. общая схема итерационного процесса:

x _k+1 = φ (x _k). (4)

Наиболее простой критерий окончания процесса .

Критерий сходимости метода простых итераций: если вблизи корня | φ ^/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, то итерации сходятся при любом начальном приближении. Исследуем выбор константы b в функции (3) с точки зрения обеспечения максимальной скорости сходимости. В соответствии с критерием сходимости наибольшая скорость сходимости обеспечивается при | φ ^/(x)| = 0. При этом, исходя из (3),

b = –1/ f ^/(x), и итерационная формула (4) переходит в

,

т.е. в формулу метода Ньютона (1). Таким образом, метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций, обеспечивающим самую высокую скорость сходимости из всех возможных вариантов выбора функции φ (x).