Пусть f (x) задана и кусочно-непрерывна на [ xL, xR ], и имеет на этом отрезке только один локальный минимум. Золотое сечение, о котором упоминал ещё Евклид, состоит в разбиении интервала [ xL, xR ] точкой x 1 на две части таким образом, что отношение длины всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей:
. (2)
Таким образом, возьмем на отрезке две точки x 1и x 2, симметрично относительно границ делящие исходный отрезок в отношении золотого сечения:
,
,
где коэффициент .
Если f (x 1) < f (x 2), мы должны сузить отрезок справа, т.е. новое значение x R = x 2, в противном случае x L = x 1. Оставшаяся внутри нового отрезка точка является первым приближением к минимуму и делит этот отрезок в отношении золотого сечения. Таким образом, на каждой итерации приближения к минимуму (см. рисунок) нам нужно ставить только одну точку (x 1 или x 2), в которой считать значение функции и сравнивать его с предыдущим. Условием выхода из итерационного процесса будет, подобно предыдущему случаю, условие | x 2 – x 1| ≤ ξ.
|
|
Метод отличается высокой скоростью сходимости, обычно изысканной компактностью программной реализации и всегда находит точку, минимальную на заданном интервале.