Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 1. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В — появление четного числа очков. События А и В— совместные.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В)=Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: AВ', ĀВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,
Р(А + В) = Р(АВ') + Р(ĀВ) + Р(АВ). (1)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А В' или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(А)=Р(АВ') + Р(АВ).
Отсюда Р(АВ')=Р(А) — Р(АВ). (2)
Аналогично имеем Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ). =>Р(АВ)=Р(В) — Р(АВ). (3)
Подставив (2) и (3) в (1), окончательно получим Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ). (4)
|
|
Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.
Для независимых событий Р(А + В) = Р(А)+Р(В) — Р(А) Р (В);
Для зависимых событий Р(А+В) = Р (A) + Р(В)-Р (А) РА (В).
Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно; Р(АВ)=0=> Р(А+В) = Р(А)+Р(В).
Пример2. Реш-е: А – число, кратное 2; В-кратно 5; АВ-кратно и2, и5.
Р(А)=45/90=1/2; Р(В)=18/90=1/5; Р(АВ)=9/90=1/10; Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ)=1/2+1/5-1/10=0,6
Формула полной вер-ти.
Теорема: вер-ть события А, к-рое может наступить лишь при условии появления одного из нескольких несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вер-тей каждого из этих событий на соответствующую условную вер-ть события А:
Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+…+Р(Вn)РВn(А) (1)
(1) – формула полной вер-ти. События В1, В2, …, Вn – гипотезы.
Док-во: Событие А наступит, если наступит одно из несовместных событий АВ1, АВ2, …, АВn без различно какое. По теореме сложения имеем, что: Р(А)=Р(АВ1)+Р(АВ2)+…+Р(АВn)
Для каждого слагаемого в правой части применим теорему умножения и получим (1) ЧТД
Пример. Реш-е: Н1 – сборщик возьмет деталь из первой коробки; Н2 – из второй; Н – возьмет станд.деталь.
Р(Н1)=1/2; Р(Н2)=1/2; РН1(А)=10/15=2/3; РН2(А)=18/20=9/10;
Р(А)=Р(Н1)РН1(Н)+Р(Н2)РН2(Н)=1/2·(2/3+9/10)=47/60=0,783