МО хар-ет СВ недостаточно полно. В кач-ве примера можно привести две СВ, к к-рых одинаковы МО и даже вероятности возможных значений, но у одной возможные значения рассеяны около ценра распределения (МО) больше, у другой – меньше.
М(Х)=1/2(-90+110)=10
М(У)=1/2(9+11)=10
Для сравнения СВ по степени рассеивания около МОвводят числовую хар-ку СВ – дисперсию.
Отклонением СВ назыв-ся СВ, равное разности СВ и ее МО, т.е. отклонение СВ Х=Х-mх
Св-вом отклонения явл-ся то, что МО отклонения=0: М(Х-mх)=М(Х)-М(mх)=mх-mх=0
Дисперсией СВ Х назыв-ся МО квадрата отклонения: D(X)=Dx=M(х-mx)2
Выведем формулу более удобную для вычисления дисперсии.
D(X)=Dx=M(X-mx)2=M(Х2-2Хmx+mх2)=V(Х2)-2mxM(X)+M(mx2)=M(X2)-2mx2+mx2=М(X2)-mx2
Т.о. дисперсия=МО квадрата СВ – ее МО.
Очевидно, что дисперсия имеет размерность=квадрату размерности СВ. Поэтому вводят среднеквадратическое отклонение (СКО)=квадратному корню из дисперсии. Размерность СКО=размерности СВ: σ(Х)=σх=√Dх
Св-ва дисперсии
1. Дисперсия const=0: D(С)=0
Док-во: по опр-ю D(С)=М(С-mс)2=М(С-С)2=М(0)=0
2.Константу можно выносить за знак D, возводя ее в квадрат:D(CX)=C2D(X)
|
|
Док-во:D(CX)=M(CX-M(CX))2=M(C2(Х-М(Х))2)=М(С2)·М(Х-М(Х))2=С2·М(Х-М(Х))2=С2D(X) ЧТД
3.Дисперсия Сум мы двух независимых СВ=сумме их дисперсий:D(Х+У)=D(Х)+D(У)
Док-во:по формуле вычисления дисперсии имеем:
D(Х+У)=М(Х+У)2-М2(Х+У)=М(Х2+2ХУ+У2)-(mx+my)2=М(Х2)+2mxmу+М(У2)-mx2-2mxmy-my2=(М(Х2)- mx2)+(М(У2)-mу2)=D(X)+D(У)
Следствия:
1. Дисперсия суммы нес-ких взаимонезависимых СВ=сумме из дисперсий. Например для трёх: D(X+У+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)
2. 2.Дисперсия суммы постоянной и СВ=дисперсии СВ: D(C+X)=D©+D(X)=0+D(X)=D(X)
3. Дисперсия разности двух независимых СВ=сумме их дисперсий: D(X-У)=D(X)+D(-У)=D(X)+
(-1)2D(У)=D(X)+D(У)
Пример.Реш-е: М(Х)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2; М(Х2)=1/6(1+4+9+16+25+36_=91/6; Dх=М(Х2)-m2х=91/6 – 49/4=2,917; σх=√2,917=1,703