Правые и левые системы координат

Три некомпланарных вектора A, B, C, взятых в указанном порядке называют тройкой векторов. Пусть векторы А, B и С отложены из одной точки. Будем смотреть с конца вектора С на плоскость, в которой лежат векторы А и В. Если кратчайший поворот от А к В совершается против часовой стрелки, то тройка векторов A, B, C называется правой тройкой (рис.9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов A, B, C называется левой (рис.9.3).

2. 1)y = kx + b, где k − угловой коэффициент, 2) y − y 0= k (x − x 0) - уравнение прямой, которая проходит

b − отрезок, который прямая отсекает на оси OY. через заданную точку P (x 0, y 0) под заданным углом α к оси OX (k = tgα).

3) x − x 1 x 2− x 1= y − y 1 y 2− y 1 - уравнение прямой, которая 4) xa + yb =1 - уравнение прямой в отрезках на осях,

проходит через две точки M (x 1, y 1) и N (x 2, y 2). где a и b − величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

5) x − x 0 l = y − y 0 m - каноническое уравнение прямой, 6) A (x − x 0)+ B (y − y 0)=0 - уравнение прямой L,

где S ¯¯=(l, m)− направляющий вектор прямой, то есть вектор которая проходит через точку M (x 0, y 0) перпендикулярно вектору N ¯¯¯=(A, B).

параллельный прямой (S ¯¯∥ L), точка P (x 0, y 0)∈ L. Вектор N ¯¯¯ называется нормальным вектором прямой.

7) Ax + By + C =0− общее уравнение прямой L, 8) x cos α + y cos β − p =0− нормальное уравнение прямой,

где N ¯¯¯=(A, B)− нормальный вектор прямой L. где cos α и cos β − направляющие косинусы нормального вектора n,

направленного из начала координат в сторону прямой,

а p >0− расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой приводится к нормальному,

путем умножения на нормирующий множитель μ =− sgnCA 2+ B 2√.

3. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.

Параллельный перенос: ,

где координаты точки Mв старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

координаты нового начала координат: .

Поворот: ,

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

угол поворота: j.

Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным координатам и обратно. ; ; ; ;

4. Определение. Любое уравнение вида, связывающее координаты x, y, z любой точки некоторой поверхности является уравнением этой поверхности.

Определение. Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора N=Aj+Bj+Cj -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы M ₁ M ₂,M ₁ M ₃,M ₁ M были компланарны, т.е. (M ₁ M ₂,M ₁ M ₃,M ₁ M) = 0

5. 1) { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0(P 1) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0(P 2)− общее уравнение прямой L в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей P 1 и P 2.

2) x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p − каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M (x 0, y 0, z 0) параллельно вектору S ¯¯=(m, n, p). Вектор S ¯¯ является направляющим вектором прямой L.

3) x − x 1 x 2− x 1= y − y 1 y 2− y 1= z − z 1 z 2− z 1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A (x 1, y 1, z 1) и B (x 2, y 2, z 2).

4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру t, получаем параметрическое уравнение прямой:

⎧⎩⎨⎪⎪ x = x 0+ mty = y 0+ ntz = z 0+ pt

6. Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать.

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться.

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом «», к примеру, запись означает, что прямые а и b пересекаются в точке М. Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми. Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными (рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a перпендикулярна прямой b, то можно использовать краткую запись .

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна прямой b, то используют символическое обозначение . Для более полной информации смотрите статью параллельные прямые, параллельность прямых.

Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой. В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.

Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой. О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости.

Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.

Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:

• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой;
• если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой;
• если на плоскости некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

7. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

	a || b (прямая а параллельна прямой b) прямая с и прямая а не параллельны прямая с и прямая b не параллельны
рис. 8

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

	M a b||а и М b (b - единственная)
рис. 9

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

	отрезок СD || отрезку АВ
рис. 10