Заданы различные точки (числа ) x0,x1, x2,…, xn лежащие в области определения функции f(x), Точки xi, i=0,1,…n, называются узлами интерполяции. Требуется построить многочлен Ln(x), степени не выше n, значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функции f(x), то есть
Ln(xi)=f(xi), i=0,1,…,n (1)
Многочлен Ln(xi), удовлетворяющий условиям (1), называется интерполяционным многочленом, простроенным для функции f(x) по заданным узлам.
Множеством F служит множество функций, определенных в узлах интерполяции; множеством H – множество многочленов, степени не выше n; мерой близости служит мера . Для интерполяционного многочлена : , поэтому Ln(x) наилучшее приближение по этой мере.
Если искомый многочлен Ln(x) представить в виде:
Ln(x)= anxn+an-1xn-1+..+a1x+a0,
то из условий задачи следует система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов многочлена:
anx0n+an-1x0n-1+..+a1x0+a0=f(x0)
anx1n+an-1x1n-1+..+a1x1+a0=f(x1) (2)
…………..
anxnn+an-1xnn-1+..+a1xn+a0=f(xn)
Система (2) содержит (n+1) уравнений и (n+1) неизвестных a0,a1,…, an .
Разрешимость поставленной задачи сводится к разрешимости системы линейных уравнений (2). Система разрешима при любых правых частях, если ее определитель отличен от нуля.
|
|
Определитель системы является определителем Вандермонда, который не равен нулю, поэтому система уравнений имеет единственное решение.
Рассмотрим пример составления интерполяционного многочлена непосредственно из его определения.
Пример 8.
В узлах x0=0, x1=1,x2=3 функция f(x) принимает значения y0=-1 y1=2, y2= 5. Построить интерполяционный многочлен, отвечающий этим данным.
В нашем случае n=2. Следовательно, требуется построить интерполяционный многочлен L2(x)=a2x2+a1x+a0.
Условия задачи приводят к системе уравнений:
a202+a10+a0=-1
a212+a11+ a0 =2
a232+a13+a0=5
Ее решение: a2 = -1/2, a1 = 7/2, a0 = -1.
Следовательно, L2(x)= .