Производя соответствующе вычисления при можно получить квадратурную формулу Ньютона – Котеса с четырьмя ординатами,
,
при будет, соответственно, получена квадратурная формула k-го порядка с (k+1) ординатами. В таблице приведены коэффициенты Котеса для разного количества ординат.
1/2 | 1/2 | |||||
1/6 | 2/3 | 1/6 | ||||
1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 | |||
7/90 | 16/45 | 2/15 | 16/45 | 7/90 | ||
19/288 | 25/96 | 25/144 | 25/144 | 25/96 | 19/288 |
Пример. Вычислить , используя формулу Ньютона – Котеса с пятью ординатами (n=4).
Решение. При n=4 шаг равен . Составим таблицу для вычисления интеграла:
7/90 | ||||
0.25 | 4/17 | 16/45 | 0.08366 | |
0.5 | 0.4 | 4/30 | 0.05333 | |
0.75 | 0.48 | 16/45 | 0.17067 | |
0.5 | 7/90 | 0.03889 | ||
0.34655 |
Таким образом, получили значение определенного интеграла
Точное значение интеграла:
Приближенное значение интеграла отличается от точного в пятом знаке после запятой, т.е. точность вычислений высокая.
Коэффициенты Котеса при большом числе ординат сложны, практически для приближенного вычисления определенных интегралов можно разбить промежуток интегрирования на большое число мелких интервалов и к каждому из них применить квадратурную формулу Ньютона – Котеса с малым числом ординат.
|
|
Индивидуальные задания по численному интегрированию(формула симпсона)
Требуется вычислить интеграл с погрешностью 0,003, и оценить величину шага, обеспечивающую заданную точность при использовании формулы прямоугольников и формулы Симпсона.
Номер варианта | Функция f(x) | a | b |
1 (k=1) | sin | 0.2k | 0.2k+1 |
2(k=6) | sinx2 | 0.1k | 0.1k+1 |
3(k=12) | cos(0,5x2) | 0.1k | 0.1k+2 |
4(k=16) | cos(x2) | 0.05k | 0.05k+2 |
5(k=22) | 0.05k | 0.05k+1 | |
6(k=26) | 0.01k | 0.01k+2 | |
7(k=32) | 0.01k | 0.01k+2 | |
8(k=36) | 0.01k | 0.01k+3 | |
9(k=42) | 0.01k | 0.01k+3 | |
10(k=50) | sin(lnx) | 0.1k | 0.1k+2 |
11(k=55) | sin | k-51 | k-50 |
12(k=60) | sin(ex) | k-55 | k-54 |
13(k=65) | k-60 | k-59 | |
14(k=70) | k-65 | k-63 | |
15(k=75) | sin | k-71 | k-70 |
16(k=80) | k-76 | k-75 | |
17(k=85) | k-83 | k-81 | |
18(k=90) | 0,005k | 0,005k+3 | |
19(k=95) | cos | k-91 | k-89 |
20(k=100) | sin0,5 | k-95 | k-94 |
21(k=2) | sin | 0.2k | 0.2k+1 |
22(k=10) | sinx2 | 0.1k | 0.1k+1 |
23(k=15) | cos(0,5x2) | 0.1k | 0.1k+2 |
24(k=20) | cos(x2) | 0.05k | 0.05k+2 |
25(k=25) | 0.05k | 0.05k+1 | |
26(k=30) | 0.01k | 0.01k+2 | |
27(k=35) | 0.01k | 0.01k+2 | |
28(k=40) | 0.01k | 0.01k+3 | |
29(k=45) | 0.01k | 0.01k+3 | |
30(k=46) | sin(lnx) | 0.1k | 0.1k+2 |