Пример 41

Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U₁ = 51 B; U₂ = 510 кВ.

Дано: Решение

U₁ = 51 B Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее

U₂ = 510 кВ импульса р и определяется формулой

l₁, l₂ =? l = h/p, (1)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

(2)

где m₀ – масса покоя частицы.

В релятивистском случае

(3)

где Е₀ = m₀c² – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется так:

а) в нерелятивистском случае:

(4)

б) в релятивистском случае:

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 B и U₂ = 510 кB, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, которую из формул: (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

Т = еU.

В первом случае T₁ = eU₁ = 51 эВ = 0,51^.10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀c² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т₁ = 10^-4 m₀c². Подставим это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

l₁ =

Учитывая, что есть комптоновская длина волны L, получим

Так как = 2,43 пм, то

Во втором случае кинетическая энергия Т₂ = еU₂ = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что Т₂ = 0,51 МэВ = m₀c², по формуле (5) найдем