Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции поля постоянных токов в вакууме может быть доказана на основе закона Био-Савара, что, в общем случае, достаточно сложно.
- циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов охватываемых этим контуром.
Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта
РИС.76 РИС.77
Если ток распределен по объему, в котором расположен контур, то полный ток охваченный контуром , где интеграл берется по произвольной поверхности натянутой на контур, плотность тока соответствует токе расположения площадки . В этом случае теорема о циркуляции:
Теорема о циркуляции позволяет достаточно просто рассчитать индукцию магнитного по известному распределению токов, если можно выбрать контур, вдоль которого модуль вектора магнитной индукции и направление постоянно.
Поле внутри соленоида тем более однородно, чем больше длина соленоида по сравнению с его диаметром. Для «бесконечного» соленоида снаружи вблизи его поверхности магнитного поля нет и можно выбрать контур, лишь часть которого совпадает с линией магнитной индукции
|
|
Ток охватываемый контуром , где N – число витков с током, охваченных контуром. Тогда:
Следовательно, индукцию магнитного поля внутри «бесконечного» соленоида можно рассчитать по формуле
, где n – число витков соленоида на единицу длины.
Факт, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, означает, что, в отличие от электростатического, магнитное поле – не потенциально.
Используем теорему Стокса и сравним это выражение с записью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции в случае непрерывного распределения тока в некотором объеме.
- дифференциальная (локальная) форма теоремы о циркуляции. Математическая констатация того факта, что линии вектора магнитной индукции замкнуты вокруг вектора плотности тока по правилу правого буравчика и поэтому магнитное поле называют вихревым или соленоидальным.
Используем, что или с помощью определителя:
, .