Закон Архимеда

Применим рассмотренный выше прием определения вертикальной силы давления жидкости на криволинейную стенку для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость помещено тело произвольной формы (рис. 2.10) объемом V.

Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Вертикальная составляющая силы полного давления жидкости P_z1, действующая на верхнюю часть тела,

,

(2.52)

а на нижнюю часть –

.

(2.53)

Все горизонтальные силы, действующие на тело, уравновешены. Совершенно очевидно, что P_z2 > P_z1, следовательно возникает выталкивающая сила

(2.54)

где V – объем тела.

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу жидкости в объеме тела.

В зависимости от соотношения веса тела G и силы P_z (архимедовой силы) возможны, как известно, три варианта положения тела: G>P_z – тело тонет; G<P_z – всплывает; G=P_z – находится в безразличном равновесии.

3. Основы кинематики и динамики жидкости

3.1. Методы описания движения жидкостей

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и применение этих законов к решению практических задач.

Существуют разные способы описания движения жидкости, из которых наибольшее распространение имеют методы Лагранжа и Эйлера.

При исследовании по методу Лагранжа изучается движение отдельных частиц жидкости вдоль их траекторий. Для выделения из бесчисленного множества траекторий частиц той, которая принадлежит данной частице, отмечают ее координаты a, b, c в начальный момент времени t_о. Координаты x, y, z и скорости v_x, v_y, v_z зависят от начальных координат:

		(3.1)
		(3.2)

По методу Эйлера определяют скорость и давление жидкости в той или иной точке пространства:

(3.3)

В гидравлике наибольшее распространение получил метод Эйлера, так как он проще метода Лагранжа.

Существует два вида движения жидкости – неустановившееся, когда скорость и давление зависят от координат и времени, и установившееся, когда указанные параметры не зависят от времени.

В дальнейшем будем рассматривать только установившееся движение жидкости. Установившееся движение, при котором частицы жидкости сохраняют свою скорость одинаковой по длине потока, называется равномерным.

На практике встречаются следующие виды потоков – напорные, безнапорные, струи. В напорных потоках все поперечное сечение трубы, канала заполнено жидкостью, движение которой осуществляется под напором, создаваемым тем или иным источником энергии.

Безнапорные потоки имеют свободную поверхность. Такое движение осуществляется в каналах, руслах рек, трубопроводах, работающих неполным сечением за счет сил тяжести.

Струи – это потоки, имеющие свободную поверхность по всему периметру сечения, движение здесь осуществляется за счет сил инерции.

3.2. Понятие о струйчатой модели потока

В гидравлике для изучения закономерностей движения жидкости широко используется струйчатая модель потока. В соответствии с этой моделью поток состоит из бесконечного множества элементарных струек. Введем понятие об элементарной струйке. Если изобразить скорость каждой частицы жидкости в пространственном потоке в виде вектора, то получим векторное поле скоростей. Проведем в этом поле линию так, чтобы векторы скорости были направлены по касательной к этой линии. Линия, полученная таким образом, называется линией тока (рис. 3.1).

Траекторией называется путь, описанный частицей в пространстве. При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией, при неустановившемся не совпадает.

Если в движущейся жидкости взять элементарный замкнутый контур и через каждую точку этого контура провести линию тока, то получим трубку
тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Сечение струйки, нормальное к ее линиям тока, называется живым сечением элементарной струйки (рис. 3.2).

В силу того, что площадь сечения элементарной струйки бесконечно мала, можно считать, что в каждой точке значения скорости одинаковы. Трубка тока непроницаема для жидкости.

Потоком жидкости называется совокупность элементарных струек, текущих в заданных границах.

Живым сечением F называется поверхность, проведенная в границах потока и нормальная ко всем линиям тока.

Смоченным периметром c называется часть периметра живого сечения, соприкасающаяся с ограждающими стенками.

Гидравлический диаметр D_г представляет собой отношение учетверенной площади живого сечения к смоченному периметру:

.

(3.4)

Гидравлический радиус R_г – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру:

.

(3.5)

Количество жидкости, проходящей через живое сечение в единицу времени, называется расходом.

Расход бывает трех видов: объемный (dQ=vdF), весовой (dG=rgvdF) и массовый (dM=rvdF).

Значения скорости различных струек в потоке различны, поэтому расход потока складывается из элементарных расходов струек:

.

(3.6)

Интеграл (3.6) не берется, так как неизвестен закон распределения скоростей по сечению потока.

Введем понятие средней скорости:

.

(3.7)

Средняя скорость потока равна частному от деления объемного расхода жидкости на площадь живого сечения потока.

Введя понятие о расходе жидкости, легко получить уравнение неразрывности – одно из основных уравнений гидравлики. Будем рассматривать жидкость как сплошную среду, не имеющую при движении разрывов и пустот в потоке. Для элементарной струйки условие неразрывности можно записать следующим образом (см. рис. 3.2):

.

(3.8)

Для потока жидкости

.

(3.9)

Уравнение (3.9) является уравнением неразрывности для потока несжимаемой жидкости. Если речь идет о сжимаемой жидкости, то уравнение неразрывности будет иметь вид:

,

(3.10)

где ρ₁ и ρ₂ – плотность жидкости в сечениях 1 и 2.

3.3. Дифференциальные уравнения Эйлера

для движения идеальной жидкости

Идеальной жидкостью называется жидкость абсолютно несжимаемая, обладающая абсолютной подвижностью частиц и не имеющая вязкости. Анализ движения такой жидкости позволит выяснить основные закономерности, которые после учета сил трения дадут возможность производить расчеты потока.

Вырежем в жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz

и отбросим окружающую жидкость. Заменим воздействие окружающей жидкости на параллелепипед силами (рис. 3.3).

На грань 1234 действует сила

,

(3.11)

на грань 5678 –

.

(3.12)

Массовая сила G в проекции на ось х запишется так:

,

(3.13)

где Х – проекция ускорения массовой силы на ось х.

Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. Изменение количества движения массы жидкости, сосредоточенной внутри объема, происходит вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, с течением времени занимает новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость меняется во времени.

Введем импульс массовых сил в проекции на ось х:

.

(3.14)

Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения:

(3.15)

Следовательно,

.

(3.16)

Аналогично выводятся зависимости для других осей.

Таким образом, получим дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости:

	;	(3.17)
	;
	.

Уравнения (2.17) показывают, что ускорение жидкого элемен­та вызывается соответствующими изменениями сил давления, дейст­вующих на этот элемент, и массовыми силами.

Уравнения Эйлера могут быть при известных условиях проинтег­рированы. Пусть имеет место стационарное течение. Умножим левую и правую части каждого уравнения соответственно на dx, dy, dz и произведем почленное сложение:

.

(3.18)

Предположим, что в жидкости действуют только силы тяжести.
Тогда Х = 0; Y = 0; Z = – g.

Для установившегося движения, когда p = f(x,y,z),

.

(3.19)

Так как , то

.

(3.20)

Итак, дифференциальное уравнение (3.18) примет вид:

(3.21)

или

.

(3.22)

После интегрирования уравнения (3.22) получим:

.

(3.23)

Выражение (3.23) представляет собой уравнение (интеграл) Бернулли для установившегося течения струйки несжимаемой жид­кости. В уравнении (3.23) – геометрический и пьезометрический напор, – скоростной (динамический) напор.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли сумма скорост­ного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная для любых

сечений элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся
движении (рис. 3.4).

Известно, что представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, а – удельную кинетичес-кую. Исходя из этого уравнение Бернулли устанавливает постоянство суммы удельных кинетической и потенциальной энергии идеальной жидкости в установившемся движении и является частным случаем закона сохранения энергии.

3.4. Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Полученное уравнение Бернулли при определенных услови­ях можно распространить на поток реальной жидкости. Рассмотрим так называемое плавно изменяющееся движение жидкости, у которо­го наблюдается параллельно-струйное движение и давление по се­чению потока распределяется по гидростатическому закону ( = const).

Как известно, полная удельная энергия элементарной струйки

.

(3.24)

Умножим левую и правую части уравнения (3.24) на весовой рас­ход струйки rgvdF, тогда полная энергия, которую переносит элементарная струйка через сечение dF в единицу времени,

.

(3.25)

Легко убедиться в том, что в левой и правой частях уравнения (3.25) будет размерность мощности. В силу того, что поток состоит из бесконечного множества элементарных струек, мощность потока в любом сечении

.

(3.26)

Разобьем интеграл в правой части выражения (3.26) на два:

.

(3.27)

Так как давление по сечению изменяется по гидростатическому закону, то

.

(3.28)

Рассмотрим второй интеграл и представим его в виде:

.

(3.29)

Интеграл (3.29) не берется, так как неизвестен закон рас­пределения скорости по сечению потока. Этот интеграл представ­ляет собой действительную кинетическую энергию, переносимую потоком через данное поперечное сечение в единицу времени (обоз­начим ее К_д).

Предположим, что значения скорости в каждой точке поперечного сече­ния потока одинаковы и равны средней скорости: . Тогда кинетическая энергия, подсчитанная по средней скорости,

.

(3.30)

Обозначим

,

(3.31)

тогда

.

(3.32)

Коэффициент a носит название коэффициента неравномер­ности распределения скорости по сечению, или коэффициента ки­нетической энергии; он представляет собой отношение действи­тельной кинетической энергии весового секундного расхода по­тока к его кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Величина коэффициента a определяется опытным путем. Для турбулентного режима a = 1,1, для ламинарного – 2.

Подставляя значения интегралов (3.29) и (3.33) в (3.28), получим:

.

(3.33)

Разделим левую и правую части уравнения (2.33) на весовой расход потока rgQ и получим:

,

(3.34)

где Н – полная удельная энергия жидкости, протекающей через рассматриваемое живое сечение потока в единицу времени, или полный напор в данном сечении.

Полученное выражение (3.34) справедливо для любого сечения потока, и если составить баланс энергий для двух сечений потока, то:

Н1 = Н2 + hw,

(3.35)

где h_w – потеря энергии между сечениями 1 и 2.

Следовательно, подставив в уравнение (3.35) значения , получим:

.

(3.36)

Уравнение (3.36) носит название «уравнение Бернулли для потока реальной жидкости» и является основным уравнением гидравли­ки, устанавливающим баланс энергии в потоке жидкости. В дальнейшем индексы «ср» у скорости ставить не будем, помня о том, что скорость в уравнении (3.36) является средней. Заметим, что практически все расчеты потоков производятся с помощью урав­нения Бернулли.

3.5. Гидравлические сопротивления, их физическая природа и классификация (общие сведения)

Определение потерь энергии в потоке является важнейшим вопросом любого гидравлического расчета. Различают два вида гидравлических сопротивлений: местные и по длине.

Местные сопротивления обусловлены изменениями формы и раз­меров русла, вызывающими деформацию потока. При протекании по местным сопротивлениям возникают интенсивные вихри, которые и вызывают в конечном счете потери энергии. В качестве примеров местных сопротивлений можно назвать вентили, задвижки, внезап­ные расширения и сужения русла, диафрагмы, повороты и т. д.

Местные потери энергии в трубопроводах рассчитываются по формуле

,

(3.37)

где буквой z обозначают коэффициент местного сопротивления;

v – средняя скорость в трубопроводе.

Формулу (3.37) называют формулой Вейсбаха. Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента z.

Потери по длине – это потери, которые возникают в прямых трубах постоянного сечения. Этот вид потерь обусловлен внутренним трением в жидкости и возникает как в гладких, так и в шероховатых трубах.

Потерю напора по длине рассчитывают по формуле:

,

(3.38)

где h _l – потеря по длине, м;

l – длина участка трубы, м;

d – диаметр трубы, м;

l – коэффициент сопротивления трения.

Формулу (3.38) называют формулой Дарси.

Общие потери в потоке складываются из суммы потерь, вызван­ных каждым сопротивлением:

(3.39)

Такое представление о сложении потерь называется принципом нало­жения.

4. Режимы течения жидкостей в трубах и
основы теории подобия

4.1. Режимы течения жидкостей в трубах. Опыты Рейнольдса.

Понятие о критическом числе Рейнольдса

Опытами установлено, что существуют два основных режима движения жидкостей – ламинарный и турбулентный.

При ламинарном режиме жидкость движется скользящими друг по другу несмешивающимися струйками или слоями.

При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по произвольным сложным траекториям, происходит интенсивное пе­ремешивание частиц жидкости.

Впервые предположение о существовании двух режимов движения жидкости было высказано Д. И. Менделеевым. Несколько позже английский физик О. Рейнольдс опытным путем подтвердил это пред­положение. Опытная установка для визуального наблюдения Рей­нольдса представляла собой резервуар 1 (рис. 4.1), к которому присоединялся прозрачный трубопровод 2 с запорным устройством 3. Мерный бак 4 позволял измерять расход Q и, следовательно, среднюю скорость в прозрачном трубопроводе. Для того чтобы сделать поток видимым, из малого резервуара 5 по тонкой трубке в основной поток подавалась краска.

Рис. 4.1

Наблюдения показали, что при малой скорости движения жид­кости струйка краски движется в трубе параллельно стенкам в ви­де тонкой нити, не смешиваясь с основной массой жидкости. Такой режим движения жидкости называется ламинарным (рис. 4.2, а).

При увеличении скорости движения жидкости наблюдается нару­шение устойчивости ламинарного движения (рис. 4.2, б). Струйка краски приобретает волнистую форму, в ней появляются разрывы. Дальнейшее увеличение скорости потока приводит к полному разру­шению струйки краски и окрашиванию всей массы жидкости в один цвет. Размывание струйки происходит вследствие интенсивного об­разования вихрей и беспорядочного движения частиц жидкости. Та­кой режим движения жидкости называется турбулентным (рис. 4.2, в).

На практике имеет место как ламинарное, так и турбулентное движение. Ламинарный режим наблюдается, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла. Турбулентный режим – при движении маловязких жидкостей – воды, бензина, кислот и др. Переход от одного режима движения жидкости к другому происходит при определенном значении скорости v_кр, которая по­лучила название критической.

Рейнольдсом дан метод установления характера течения жидкос­ти через количественный критерий. Опыты показали, что режим дви­жения жидкости определяется комплексом следующих величин: ди­намической вязкостью m; плотностью жидкости r; средней скоростью потока v; величиной диаметра трубы, а количествен­ный критерий, названный в честь его автора числом Рейнольдса, имеет вид:

,

(4.1)

где u – кинематический коэффициент вязкости.

Число Рейнольдса, подсчитанное по критической скорости v_кр, называется критическим числом Рейнольдса,

.

(4.2)

Как показывают опыты, Re_кр для труб круглого сечения равен 2320. Если число Рейнольдса в потоке меньше 2320, течение ла­минарное, если больше – турбулентное.

Смена режима движения при достижении Re_кр обусловлена тем, что одно течение теряет устойчивость, а другое – приобретает. При Re < Re_кр ламинарное течение вполне устойчивое, а всякого рода турбулизация погашается влиянием вязкости. При Re > Re_кр, наобо­рот турбулентное течение устойчиво.

4.2. Понятие о гидродинамическом подобии

Сложность процессов, протекающих в жидкости не позволяет в полной мере использовать результаты теоретического анализа для решения практических задач, поэтому в гидравлике широко используется эксперимент в сочетании с теорией. Очевидно, что при постановке эксперимента возникает нужда в исследовании не натурных образцов гидравлических сооружений и устройств, а мо­делей этих устройств. При создании и исследовании моделей воз­никают такие вопросы: какие явления и процессы подобны изучаемому; что измерять при проведении эксперимента; как обрабаты­вать результаты исследования. Ответы на эти и другие вопросы дает наука о постановке эксперимента – теория подобия.

Подобными явлениями называются явления качественно одина­ковые, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями. Гидродинамическое подобие – это подобие геометрическое, кинема­тическое и динамическое.

Геометрическое подобие означает пропорциональность сходст­венных размеров и равенство соответствующих углов: ; ; .

Кинематическое подобие – это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей, ускорений: ; ; .

Динамическое подобие – это подобие масс, плотностей, сил: ; ; .

Здесь индексы Н относятся к натурному потоку, М – к мо­дельному, соответственно L – линейный размер; F – площадь; W – объем; v – скорость; t – время; a – ускорение; m – масса; r – плотность; m – динамический коэффи­циент вязкости; Р – сила; С – масштаб моделирования.

Получим основной критерий гидродинамического подобия. В соответствии с законом Ньютона Р = m а. Для подобных потоков

(4.3)

или

.

(4.4)

Имея в виду значения масштабов моделирования, можно записать:

.

(4.5)

Поскольку комплексы (4.5) для подобных потоков должны быть одинаковыми, запишем:

.

(4.6)

Чаще пользуются другим выражением. Так как t = L/v, то

.

(4.7)

Полученный комплекс (4.7) называется критерием Ньютона.

Согласно первой теореме теории подобия подобные между собой явления имеют одинаковые критерии: Ne_н = Ne_м .

Вторая теорема подобия утверждает, что интеграл дифферен­циального уравнения, описывающего процесс движения жидкости, может быть представлен в виде зависимости между критериями подобия: f (k₁, k₂, k₃ …) = 0.

Если результаты опыта представить в критериальной форме, то эти критериальные зависимости будут общими для всех подоб­ных явлений.

Для получения общего гидродинамического подобия необходимо иметь подобие по всем силам, действующим в системе. Однако это не всегда возможно. В таких случаях пользуются частичным (локальным) подобием по силам, преобладающим в изучаемом пото­ке. При этом критерий Ne преобразуется в другие критерии.

Пусть в потоке преобладают силы трения. Тогда в соответ­ствии с законом

Ньютона

.

(4.8)

Подставим в критерий Ньютона вместо Р силу трения Т и получим:

.

(4.9)

В подобных системах , поэтому

(4.10)

или

.

(3.11)

Запишем выражение (4.11) через масштабы моделирования:

.

(4.12)

Помня о том, что С_m /С_r = С_u, уравнение (4.12) примет вид:

.

(4.13)

Следовательно,

.

(4.14)

Комплекс (4.14) назван критерием Рейнольдса и для подобных потоков, в которых главную роль играют силы трения

.

(4.15)

Для круглой трубы характерным линейным размером является диаметр d и

.

(4.16)

Если в потоке преобладают силы тяжести, то в качестве силы Р в критерий Ньютона следует подставить G = mg:

.

(4.17)

После очевидных сокращений получим:

.

(4.18)

Отношение, обратное уравнению (4.18), называется критерием Фруда:

.

(4.19)

Следовательно, в тех случаях, когда моделируются явления, при которых преобладают силы тяжести, должно соблюдаться равенство критериев Фруда натуры и модели.

Если в жидкости преобладают силы давления, то в критерий Ньютона подставляют Р=DрF. После несложных преобразований получают критерий Эйлера

.

(4.20)

В подобных потоках требуется равенство критериев Эйлера для натуры и модели: Eu_н = Eu_м.

С физической точки зрения все полученные критерии представляют собой меру отношения сил инерции к преобладающим в потоке жидкости силам.

Современная теория подобия рекомендует все результаты экспериментов
представлять в виде критериальной зависимости: Еu = f (Re, Fr).

Покажем, что коэффициент сопротивления l в формуле для расчета потерь напора по длине тоже является критерием подобия. Докажем это положение. Так как , то после несложных преобразований получим:

,

(4.21)

или

.

(4.22)

Ниже убедимся в том, что l = f (Re), и тогда получим, что

,

(4.23)

а это согласуется с требованиями теории подобия.

5. Ламинарное движение жидкости

5.1. Потери на трение при равномерном движении

При исследовании любого режима движения, в том числе ламинарного, ставится задача расчета потерь напора и поля скоростей. Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис. 5.1).

В соответствии с уравнением Бернулли

.

(5.1)

Выделим в движущейся жидкости объем диаметром 2r и длиной l. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема:

P1 – P2 – T = 0,

(5.2)

где Р₁ = p₁ pr² – сила давления на сечение 1–1;

р₂ = p₂ pr² – сила давления на сечение 2–2;

Т = 2pr l t – сила трения, действующая на поверхности цилиндра;

t – касательное напряжение.

Подставим значения Р₁, Р₂, Т в уравнение (5.2):

(p1 – p2) pr2 – 2pr l t = 0.

(5.3)

Отсюда

,

(5.4)

где p_тр = p₁ – p₂ – потеря давления между сечениями 1–1 и 2–2.

Таким образом, устанавливается закон распределения каса­тельного напряжения по сечению потока. Закон этот линейный и свидетельствует о том, что в центре потока, когда r = 0, t = 0, а на стенке r = r₀, t = t_max = . Эпюра касательного напряжения показана на рис. 5.1.

5.2. Поле скоростей и потери напора при ламинарном

режиме движения жидкости

Для получения закона распределения скоростей по сечению потока запишем в соответствии с законом Ньютона:

.

(5.5)

Знак «минус» в правой части уравнения (5.5) обусловлен тем, что скорость от центра к стенке убывает, следовательно, градиент скорости имеет
отрицательное значение. Приравниваем выражение (5.4) к (5.5):

,

(5.6)

разделим переменные:

;

(5.7)

возьмем интеграл:

.

(5.8)

Для определения постоянной интегрирования С подставим в уравнение (5.8) граничные условия: r = r₀, v = 0 (условия прили­пания жидкости к стенке), тогда

.

(5.9)

Отсюда получим закон распределения скоростей по сечению потока:

.

(5.10)

Уравнение (5.10) представляет собой параболоид вращения, т. е. при
ламинарном режиме имеем параболический закон распределе­ния скоростей.
В центре трубопровода, когда r = 0, скорость имеет максимальное значение:

,

(5.11)

а на стенке, где r = r₀, скорость равна нулю.

Применим полученный закон распределения скоростей для рас­чета расхода. Рассмотрим элементарное кольцо толщиной dr (рис. 5.2). Рас­ход жидкости через это кольцо

(5.12)

или, так как dF = 2prdr,

.

(5.13)

Возьмем интеграл по всему сечению трубопровода:

,

(5.14)

найдем среднюю по сечению скорость:

.

(5.15)

Сравнив среднюю скорость с максимальной, убеждаемся в том, что

Определим значение коэффициента l. Из уравнения (5.15) имеем

.

(5.16)

Умножим и разделим правую часть уравнения (5.16) на 2v_cp; кроме того, запишем, что р_тр = rgh_тр, тогда,

.

(5.17)

Заменим в выражении (5.17) m/r = u и 2r₀ = d₀, получим:

.

(5.18)

Если сравнить уравнение (5.18) с общей формулой для расчета потерь по длине можно убедиться в том, что для ламинарного режима

.

(5.19)

Зная закон распределения скоростей, получим значение коэффициента a для ламинарного режима:

.

(5.20)

Обозначим , тогда

.

(5.21)

Итак, полученная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превышает кинетическую энергию, подсчитанную по средней скорости.

Изложенная теория хорошо подтверждается опытом, за исклю­чением следующих случаев: при течении на начальном участке трубы, где формируется поле скоростей; при течении со значительным теплообменом, так как неизотермичностъ существенно искажает поле скоростей.

5. Турбулентное движение жидкости

5.1. Природа потерь при турбулентном движении

Турбулентный режим движения жидкости наиболее часто встре­чается в природе и технике и отличается чрезвычайной сложностью происходящих в нем процессов. Естественно, что сложность процессов не позволяет разработать строгую теорию турбулентного дви­жения. При теоретическом анализе вводятся разного рода упрощен­ные модели, а результаты теоретических расчетов уточняются пу­тем сопоставления их с результатами экспериментов.

Бесспорным является факт интенсивного перемешивания частиц жидкости. Если поместить в турбулентный поток весьма чувствитель­ный прибор для измерения скорости, то окажется, что в данной точке скорость с течением времени будет меняться (рис. 5.1).

Траектории частиц, проходящих через данную точку, представ­ляют собой кривые различной формы, значит, турбулентное течение является неустановившимся. В силу того, что непрерывно происходит перемешивание жидкости и обмен количест­ва движения между соседними слоями, закон трения Ньютона здесь неприменим, а касательные напряжения значительно больше, чем в ламинарном режиме.

В результате интенсивного перемешивания поле скоростей существенно отличается от ламинарного (рис. 5.2). Для облегче­ния решения ряда задач вводится понятие осредненной за время t скорости . Аналитически осредненная скорость

.

(5.1)

Истинная скорость v в данной точке пространства в данное мгновение может быть представлена суммой осредненной и пульсационной скоростей:

.

(5.2)

Будем считать, что если с течением време­ни не меняется, то движение будет квазиустановившимся, а эпюра скоростей на рис. 5.2 построена для осредненной скорости.

5.2. Поле скоростей при турбулентном движении.

Структура турбулентного потока в цилиндрической трубе

Анализируя поле скоростей (см. рис. 5.2) при турбулентном движении, видим, что по сечению потока наблюдается разный ха­рактер изменения скорости: вблизи стенок скорость нарастает весьма интенсивно, а в центре трубопровода меняется незначительно.

Так как у самых стенок значения скорости движения жидкости равны нулю, а вблизи стенок малы, то в этой области поток движется по законам ламинарного движения, образуя у стенки ламинарный подслой d_л. Вслед за ламинарным подслоем идет небольшой пере­ходный слой, где происходит переход от ламинарного режима к турбулентному. Ламинарный подслой с переходным образуют пограничный слой, в центре потока располагается турбулентное ядро (рис. 5.3).

Для понимания сути процессов, происходящих при движении жидкости в трубах, весьма важно иметь представление о гидравли­чески гладких и шероховатых трубах. Любая твердая поверхность, ограничивающая поток, имеет те или иные выступы шероховатости, их форма, расположение, величина зависят от технологии из­готовления трубопровода, материала, условий эксплуатации и т. д. В зависимости от соотношения толщины ламинарного подслоя d_л и величины выступов поверхности стенок труб D (рис. 5.4) сущест­вуют трубы гидравлически гладкие (d_л > D) и гидравлически шероховатые (d_л < D).

dл < D

dл > D

D

dл

dл

D

а б

Рис. 5.4

В первом случае все выступы шероховатости покрываются ламинарным подслоем. При этом потери напора по длине ока­зываются не зависящими от шероховатости стенок.

Во втором случае выступы не покрываются ламинарным под­слоем, происходит обтекание их с отрывом струй, вихреобразованием. Потери напора здесь зависят от шероховатости.

Исследования показали, что понятия «гладкие» или «шероховатые» трубы относительны, так как толщина ламинар­ного подслоя d уменьшается с увеличением в потоке числа Re и поэтому одна и та же стенка в одних условиях может быть гладкой, а в других – шероховатой.

Ввиду сложности турбулентного движения и трудностей его аналитического исследования до настоящего времени не имеется достаточно строгой теории этого течения. Существуют разного ро­да полуэмпирические теории, построенные на основе упрощенных моделей потока, в данном пособии они не рассматриваются.

В большинстве случаев для практических расчетов, связан­ных с турбулентным течением жидкости в трубах, пользуются экс­периментальными данными, систематизированными на основе гидро­динамической теории подобия.

5.3. Потери на трение в трубопроводах. Опыты Никурадзе. График ВТИ

Потери на трение при турбулентном режиме определяются по формуле:

.

(5.3)

Наиболее сложным является определение коэффициента l. В общем случае коэффициент l зависит от критерия Re, величины шеро­ховатости стенок и характера шероховатости:

,

(5.4)

где D – средняя величина неровности стенок;

– относительная шероховатость;

A – параметр, учитывающий характер шероховатости.

Первые опыты по исследованию зависимости l от Re и D/d для напорных трубопроводов с искусственной шероховатостью проведены Никурадзе в Геттингенском университете (1930 –1933 г.г.).

Никурадзе определял величину коэффициента сопротивления по длине при движении различных жидкостей по трубам разного диаметра при разных относительных шероховатостях, полученных путем наклейки на стенки трубы однородных песчинок, и разных Re. Песчинки получали просеиванием песка через сита. Испытания были произведены при широком диапазоне относительных шерохова­тостей и чисел Рейнольдса (Re = 500 ¸ 10⁶).
Результаты этих испытаний представлены на логарифмическом графике l g100l

от l gRe для ряда значений d/D_S (рис. 5.5).

Особый интерес представляет анализ графика Никурадзе. В графике можно выделить следующие характерные зоны: I зона – зона ламинарного режима движения жидкости, здесь l = f(Re), а коэффициент l зависит только от числа Re:

.

(5.5)

II зона – зона гидравлически гладких труб, она имеет место при
4000 £ Re £ 20d/D_S. Как указывалось выше, такое «поведение» труб объясняется тем, что ламинарный подслой перекры­вает выступы шероховатости (d > D). Вихри, образующиеся на выступах шероховатости, гаснут в ламинарном слое и не попадают в турбулентное ядро.

III зона. Здесь l = f (Re, d/D_S). Пределы этой зоны определяются соотношением: 20d/D_S £ Re £ 500d/D_S.

IV зона – квадратичная, в ней l = f (d/D_S) и не зависит от Rе. В этой зоне ламинарный подслой нас­только мал, что все выступы шероховатости оказываются в турбу­лентном ядре, и именно это оказывает влияние на величину коэф­фициента l.

Сопротивление труб с естественной шероховатостью отличает­ся от сопротивления труб с искусственной шероховатостью.

На рис. 5.6 приведен график, полученный во Всесоюзном теплотехническом

институте для труб с естественной шероховатостью. Для натуральных труб закон изменения l от Rе получается несколь­ко иным, без подъема кривых после отклонения их от закона для гладких труб.

Коэффициент l на графике (см. рис. 5.6) дан в зависимости от Rе для раз­ных значений d/к_э, где к_э – абсолютная шероховатость, эквивалент­ная* зернистой шероховатости в опытах Никурадзе.

* Эквивалентная шероховатость – это такая высота выступов песчинок в опытах Никурадзе, которая создает сопротивление, рав­ное действительному сопротивлению данного трубопровода. Значения к_э находят в гидравлических справочниках.

Такой постепенный переход объясняют тем, что в случае разнозернистой шероховатости при увеличении Re, а следова­тельно, уменьшении толщины вязкого подслоя d_л, выступы шеро­ховатости вступают в соприкосновение с турбулентным потоком не все одновременно, а сначала наиболее высокие, затем – средние, и только при числах Re, соответствующих квадратичной области сопротивления, вязкий подслой освобождает все выступы шерохо­ватости.

5.4. Формулы для расчета коэффициента l

При турбулентном режиме для определения коэффициента l в напорных трубопроводах используются либо графики, подобные приведенному на рис. 5.6, либо эмпирические и полуэмпирические формулы. Эти фор­мулы обычно рекомендуются для одной из соответствующих областей сопротивления. Следовательно, прежде чем выбрать для расчета ту или иную формулу, необходимо установить область сопротивления, граничными условиями существования которой являются ниж­нее Re^/_пр и верхнее Re^//_пр предельные числа Рейнольдса.

Некоторые из формул и границы их применимости приведены в таблице.

Формулы для расчета коэффициента сопротивления l

Зона сопротивления	Режим течения	Границы зоны	Расчетные формулы
I	Ламинарный	Re < 2300	l =	Универсальная формула Альтшуля: l = 0,11(кэ/d+68/Re)0,25
II	Турбулентный гладкостенный	4×103 < Re < 20	l = – Блазиуса l = (1,8 lg Re –1,5)-2 – Конакова
III	Турбулентный доквадратичный	20 < Re < 500	l = – Альтшуля
IV	Турбулентный квадратичный	Re > 500	l = – Шифринсона l = (1,74 + 2 lg )-2 – Никурадзе

6. Местные гидравлические сопротивления

6.1. Коэффициент местного сопротивления.
Понятие об эквивалентной длине

Потеря напора в местном сопротивлении рассчитывается по формуле:

.

(6.1)

Опыт показывает, что коэффициент z зависит от формы местного сопротивления, величины проходного сечения, шеро­ховатости стенок, критерия Рейнольдса. Зависимость z от Re проявляется только при ламинарном режиме, при турбулентном ре­жиме Re не влияет на величину коэффициента местного сопротив­ления.

Сложность процессов, происходящих в местных сопротивлени­ях, как правило, не позволяет теоретически рассчитать коэффи­циенты местных сопротивлений, поэтому приходится находить их опытным путем. Для определения коэффициента z измеряются по­тери напора в местном сопротивлении, по расходу Q, который тоже измеряют, рассчитывают среднюю скорость и далее простым расчетом находят z.

Часто для упрощения расчетов длинных трубопроводов прибе­гают к приему замены местных сопротивлений так называемыми эк­вивалентными длинами и расчетный трубопровод считается прямым, но его длина больше действительной на величину эквивалентной длины:

L = S l + S l э,

(6.2)

где l – длина участка;

l _э – эквивалентная длина.

Эквивалентную длину можно найти из следующих соображений. Потери в местном сопротивлении рассчитываются по формуле: , а потери по длине –

Следовательно, если полагать, что потери в местном сопро­тивлении и эквивалентном участке прямой трубы одинаковы, то

(6.3)

и отсюда

.

(6.4)

Так рассчитывается эквивалентная длина для всех местных сопротивлений и по уравнению (6.2) находят общую длину, которую и закладывают в расчет потерь энергии в трубопроводе.

6.2. Внезапное и плавное расширение потока

Один из случаев, поддающийся теоретическому расчету, – это часто встречающееся в практике внезапное расширение потока (рис. 6.1).

Поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как рус­ло, а постепенно. В результате в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуется кольцевой вихрь, который и является причиной потери энергии. Кроме того, здесь происходит явление, сходное с ударом, т. е. частицы жидкости, вытекающие из трубы малого диаметра, наталкиваются на частицы, имеющие мень­шую скорость в трубе большего диаметра.

Выделим сечениями 1–1 и 2–2 объем жидкости (см. рис. 6.1), мысленно отбросим окружающую жидкость, заменив ее воздействие на выбран­ный отсек силами.

Будем полагать, что распределение скоростей в сечениях 1–1 и 2–2 равномерное, касательное напряжение на стенке трубы между сечениями равно нулю, а давление р₁ в сечении 1–1 действует по всей площа­ди.

Запишем в соответствии с теоремой об изменении количества движения:

(p1–p2)F2=rQ(v1–v2).

(6.5)

Разделим левую и правую части уравнения (6.5) на rgF₂, получим:

.

(6.6)

Для сечений 1–1 и 2–2 запишем уравнение Бернулли. Будем полагать, что плоскость сравнения проходит через ось трубы, следовательно, z₁ = z₂, тогда

,

(6.7)

или

.

(6.8)

приравняем уравнение (6.6) к (6.8):

,

(6.9)

или

.

(6.10)

В соответствии с уравнением неразрывности

v1F1= v2F2,

(6.11)

или v₁= v₂F₂/F₁, и тогда

.

(6.12)

Сравнивая равенство (6.12) с общей формулой для расчета потерь энергии в местных сопротивлениях, убеждаемся в том, что

.

(6.13)

В том случае, когда F₂ очень велика, что соответствует подводу жидкости по трубе к резервуару больших размеров, и v₂»0,

,

(6.14)

а коэффициент z, отнесенный к скорости в трубопроводе v₁, равен единице.

Постепенно расширяющаяся труба называется диффузором. Те­чение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорос­ти и увеличением давления. Частицы жидкости преодолевают не­достающее давление за счет своей кинетической энергии, поэтому слои жидкости, прилегающие к стенке, обладают столь малой скоростью, а следовательно, и кинетической эне­ргией, что порой оказываются не в состоянии преодолевать по­вышенное давление, останавливаются или начинают двигаться в обратном направлении. В результате этого возникает отрыв по­тока от стенки, интенсивное вихреобразование. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла a (рис. 6.2). Кроме того, в диффузоре имеются обычные потери на трение. Таким образом,

,

(6.15)

где h_тр, h_расш – потери напора на трение и на расширение.

Минимальные потери имеют место при угле конусности a = 2 ¸ 9°, а при a = 65 ¸ 70° потери на 15 – 20 % больше, чем при внезапном расширении, поэтому при a > 40° выгоднее делать не диффузор, а внезапное расширение.

Значения коэффициентов постепенного расширения находят по гидравлическим справочникам.

6.3. Внезапное и плавное сужение потока

Внезапное сужение потока вызывает меньшую потерю энергии, чем внезапное расширение при прочных равных условиях (рис. 6.3).