Примеры решения задач. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось

Пример 1

Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее представить самой себе?

Решение

Линейное ускорение гири (a) равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением (ε) вала соотношением:

а=εR, … (1)

где R – радиус вала.

Основное уравнение вращательного движения:

М=ε•J, … (2)

где М – вращательный момент, действующий на вал, J – момент инерции вала. Из формулы (2) находим:

ε=М/J … (3)

Момент инерции вала, как однородный цилиндр определяется формулой:

J=m₁•R²/2. … (4)

Вращающий момент равен произведению силы натяжения шнура Т на радиус вала:

М=Т•R, … (5)

где Т – сила натяжения шнура, найдем ее из следующих соображений. На гирю действует силы тяжести m₂g и сила натяжения T шнура. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири:

m₂g – T=m₂a, … (6)

откуда

T= m₂(g – a). … (7)

Формулу (7) ставим в (6) и получим формулу для вращающего момента:

М= m₂• (g – a)•R. … (8)

Формулу (8) и (4) ставим в (3) и получим формулу угловое ускорение вала:

ε=[m₂• (g – a)•R]/ (m₁•R²/2)=2• m₂• (g – a)/ m₁•R. … (9)

Формулу (9) ставим в (1) и получим формулу для линейного ускорения гири:

a=2• m₂• (g – a)/ m₁, … (10)

откуда

a=2 m₂•g/(m₁+2 m₂). … (11)

Ставим численные данные и вычислим:

а= 2•2•9,81/(10+2•2)=2,8 м/с².

Ответ: 2,8 м/с².

Пример 2

Платформа в виде диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение.

По закону сохранения момента импульса системы до и после перехода человека равны:

L_до=L_после или (J₁+J₂)•ω=(J₁+J₂¹)•ω¹, … (1)

где J₁ – момент инерции платформы, J₂ – момент инерции человека, стоящего в центре платформы, ω – угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре, J₂¹ - момент инерции человека, стоящего на краю платформы, ω¹ - угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:

υ=ω¹•R. … (2)

Определив из уравнения (1) ω¹ и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь:

υ= =[(J₁+J₂) /(J₁+J₂¹) ]• ω•R. … (3)

Платформа в виде диска имеет момент инерции:

J₁= m₁•R²/2. … (4)

Момент инерции человека определим как для материальной точки:

J₂=0 и J₂¹= m₂• R². … (5)

Угловая скорость платформы до перехода человека:

ω=2πn. … (6)

Заменив в формуле (3) величины J₁, J₂, J₂¹ и ω их выражениями, получим: