Одномерное уравнение теплопроводности (уравнение диффузии) является параболическим уравнением в частных производных. Задача состоит в отыскании функции U(x, t), удовлетворяющей в области D={(x, t); } уравнению
(a= Const>0), (1)
начальному условию U(x,0)=f(x) (2)
и краевым условиям первого рода
(3)
Замена переменных приводит уравнение (1) к безразмерному виду
,
поэтому в дальнейшем будем считать a=1.
Построим в области D равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении x и шагом, t - в направлении t (рис.1).
Обозначим узлы сетки через (x0,t0),..., (xi ,tn),...,
а приближенные значения функции U(x,, t) в этих узлах - .
Тогда
xi = ih, i=0, 1,...,n, h=l/n; tn = nt, n =0, 1,..., m, t = T/m.
1. Явная схема
Погрешность аппроксимации равна о(t/h2).
Условие устойчивости
При использовании простого уравнение теплопроводности явного метода решается последовательным продвижением (маршем) от линии, на которой заданы начальные условия.
Явная схема оказывается устойчивой только при , т.е. при .
Это означает, что вычисления по явной схеме придется вести с очень малым шагом по t, что, конечно, может привести к большим затратам машинного времени.
|
|