На двух станках могут обрабатываться детали трех видов. В течение рабочего дня на первом станке может быть обработано 30 деталей первого вида, или 30 деталей второго вида, или 42 детали третьего вида. На втором станке в течение рабочего дня может быть обработано 18 деталей первого вида, или 50 деталей второго вида, или 150 деталей третьего вида.
Пусть 2 детали первого вида, 5 деталей второго вида и 3 детали третьего вида составляют один полный комплект. Определить оптимальный план работы станков, то есть указать, какую часть рабочего дня каждый станок должен обрабатывать детали каждого вида с тем, чтобы число комплектов деталей было наибольшим.
Перечисленные данные запишем в табл. 5.2.
Т а б л и ц а 5.2
Станки | Детали | ||
I | |||
II | |||
Комплектность | 2: 5: 3 |
Составим математическую модель станковой задачи. Пусть – часть рабочего дня, в течение которой на -м станке обрабатываются детали -го вида, , . Тогда план работы станков можно представить таблицей
|
|
X = | Станки | Детали | |
Обозначим через число комплектов деталей, которое будет получено в соответствии с этим планом.
Поскольку рабочий день принят за единицу, то имеем систему ограничений на время работы каждого станка
. (5.4)
Условия неотрицательности неизвестных:
, , . (5.5)
Чтобы составить целевую функцию, найдем количество деталей каждого вида, обработанных двумя станками по плану :
– количество деталей первого вида,
– количество деталей второго вида,
– количество деталей третьего вида.
Так как один комплект состоит из 2 деталей первого вида, 5 деталей второго вида и 3 деталей третьего вида, то общее число комплектов деталей выражается функцией
. (5.6)
Таким образом, математической моделью станковой задачи является задача максимизации целевой функции (5.6) при условиях (5.4)-(5.5).
Рассмотрим два плана обработки деталей. По плану
X1 = | Станки | Детали | |
число комплектов деталей составляет
.
Так как число комплектов должно быть целым, то считаем, что .
Второй (оптимальный) план получим с помощью процедуры «Поиск решения» табличного процессора Excel. Математическая модель станковой задачи может быть сведена к задаче линейного программирования. Действительно, из определения целевой функции (4.12) следует, что
, , . (5.7)
При этом число
– целое. (5.8)
Поэтому, если включить в число неизвестных, то получим математическую модель в виде задачи максимизации функции при ограничениях (5.4), (5.5), (5.7), (5.8). Эта модель относится к линейному частично целочисленному программированию. Решение задачи выполним в Excel. В ячейки серого цвета, как показано в табл. 5.3, поместим неизменяемую информацию. В блок ячеек B3: D5 поместим исходные данные задачи, а именно, число обработанных деталей каждым станком в течение рабочего дня и комплектность деталей. Блок ячеек B8: D9 и ячейку F12 предусмотрим для значений оптимального плана работы станков и значения . Эти ячейки оставляем пустыми. В ячейки E8: E9 поместим формулы для записи левых частей системы (5.4), а именно,
|
|
= СУММ(B8: D8)
и
= СУММ(B9: D9).
В ячейки G8: G9 поместим 1 – правые части системы (5.4). В блок ячеек B12: D12 поместим выражения для левых частей неравенств (5.7). Для этого в ячейку B12 запишем формулу
= СУММПРОИЗВ(B3: B4; B8: B9) / B5
и протянем ее на ячейки C12, D12. Наконец, в ячейку G12 поместим «короткую» формулу для целевой функции
= F12.
Т а б л и ц а 5.3
A | B | C | D | E | F | G | |||
Количество обработанных деталей вида | |||||||||
Станки | |||||||||
Комплект-ность | |||||||||
Время обработки деталей | Левая часть | Знак | Правая часть | ||||||
0,666667 | 0,333333 | <= | |||||||
0,8 | 0,2 | <= | |||||||
Число комплектов | Знак | z | ЦФ max | ||||||
>= | |||||||||
После заполнения табл. 5.3 следует обратиться к процедуре «Поиск решения» и заполнить появившееся окно информацией, указанной на рис. 5.2.
Рис. 5.2. Обращение к процедуре «Поиск решения»
в задаче о комплектном выпуске продукции
Результатом решения задачи в Excel служит оптимальный план обработки деталей, полученный в табл. 5.3.
Xmax = | Станки | Детали | |
0,67 | 0,33 | ||
0,8 | 0,2 |
Для этого плана число полных комплектов деталей равно . На рис. 5.3 помещена диаграмма, которая для каждого станка показывает часть рабочего дня, в течение которой согласно оптимальному плану он должен быть занят обработкой деталей.
Рис. 5.3. Линейчатая диаграмма с накоплением На диаграмме каждому станку соответствует прямоугольник длины 1 (рабочий день) с разбивкой на доли времени, отведенного на обработку деталей трех видов.