Одним из основных понятий математического анализа является функция.
Зачатки определения функции имелись у П. Ферма и Б. Паскаля. Впервые слово функция употребил Лейбниц в 1692 г.
Определение функции, наиболее близкое к современному, дал И. Бернулли в 1718 г.
До недавнего времени наиболее распространенным было следующее определение функции.
Переменная величина y называется функцией переменной величины x,если каждому значению х соответствует единственное определенное значение y. Записывается .
В настоящее время обычно употребляют определение функции, основанное на теории множеств.
Переменная величина y называется функцией переменной величины x с областью определения D и множеством значений E, если для любого значения х, принадлежащего множеству D (" x Î D)существует единственное значение y, принадлежащее множеству Е (y Î E) (рис. 3), т. е.
.
Рис. 3
Например, найти область определения и множество значений функции . Получаем , .
Если между множествами D и E можно установить взаимно однозначное соответствие, то существует обратная функция или .
|
|
Если аргумент функции является в свою очередь функцией переменной величины х , то называется сложной функцией.
Здесь функции и называются составляющими функциями.
Например, сложная функция, ее составляющие функции и .
Основными элементарными функциями являются следующие:
1) - степенная функция;
2) - показательная функция;
3) - логарифмическая функция;
4) - тригонометрические функции;
5) - обратные тригонометрические функции.
Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень.
Например, .
Функция называется алгебраической, если она образована из независимой переменной x с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень с рациональным показателем.
Функция называется трансцендентной, если она не является алгебраической.
Алгебраическая функция называется иррациональной, если она содержит операцию извлечение корня.
Функция называется рациональной, если она является алгебраической и не содержит корней независимой переменной.
Простейшей рациональной функцией является многочлен вида
,
где – числовые коэффициенты, х – независимая переменная, n – целое положительное число.
Любую рациональную функцию можно представить в виде отношения двух многочленов
,
где , – числовые коэффициенты, m – целое положительное число.