Определение 3: Линейное нормированное пространство называется полным, если любая принадлежащая ему последовательность удовлетворяющая условию Коши, сходится к некоторому элементу принадлежащему этому пространству.
Определение 4: Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.
Пример банахова пространства пространство - пространство действительных чисел.
Введем еще одно определение, которое будет использоваться в дальнейшем.
Определение 5: Совокупность всех функций , для которых функция интегрируема на области G обозначается .
На этом множестве можно ввести скалярное произведение и норму по формулам:
(2)
( - функция, комплексно сопряженная)
(3)
Свойства:
1. ;
2. ;
Т.о. становится линейным нормированным пространством
- линейное пространство второго порядка, т.к. - интегрируемость с квадратом.
Определение 6: Функция из называется нормированной, если . (4)
Определение7: Функция и g из называются ортогональными, если. (5)
Пример:
Система тригонометрических функций: ½, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cos3x, sin3x ортогональна на отрезке [0; 2π]: т.е интеграл на отрезке [0; 2π] от произведения двух разных функций этой системы равен 0.
Это вытекает из равенства:
Если k<l, k-l = - p, то sin(- p)=-sin(p), тогда имеем
sin(-2πp)=0 (где р -целое число)
Если k>l, k+l=q то sin2π q =0, (где q -целое число).
Т.е. имеем
Если l-k>0, l-k=p, l+k=q.
Определение 8: Система функции из , называется ортонормальной в ,если (φk,φi)=σki, где σki-символ Кронекера
(6)
Напомним, что всякая ортонормальная система функций состоит из линейно независимых функций, т.е из того что:
, где αk - числа, откуда следует, что αk=0.
Найдем норму функций для этого тригонометрического ряда:
, нормированная система.
Рассмотрим более детально:
Получили:
система система
Если Т=2π, то имеем
и т.д.
Умножая тригонометрические функции на надлежащие множители можно получить ортонормальную систему.
Примером ортонормальной системы в также является следующая тригонометрическая система:
(8)
(8)- комплексный ряд. Периодичность [0;2π]
Т.е. система функций ортогональна.
При переходе к ортонормальной системе нормируется на 2π.
Проверим:
Потому что:
Домашнее задание:
1. Докажите, что система функций: 1,cos x, cos 2x, …,cos nx ортогональна на [0;π].
2. Докажите, что система функций: 1,sin x, sin 2x, …, sin nx ортогональна на [0;π].
Пусть система функций ортогональна в .
Наличие ортогональной системы функций позволяет разложить по ней произвольную функцию :
(9)
Причём области определения и должны быть одинаковы, т.е.
,
или и образуют пространство функций (интегрируемость с квадратом (см. ранее)).
на интервале (a,b)
Для нахождения коэффициентов an, надо
(10)
(система функций ортогональна и остаётся один член с одинаковыми индексами).
Откуда,
(11)
Числа (11) являются коэффициентами ряда Фурье относительно элемента , ортогональной системе , а ряд (9)
(12)
является рядом Фурье функции по ортогональной системе .