Производные элементарных функций

Дадим аргументу х₀ приращение и перейдем на кривой от точки ) к точке . Проведем секущую (см.рис. 1).

Под касательной к кривой в точке естественно понимать предельное положение секущей при приближении точки к точке , т.е. при .

Уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид

.

Рис.1 Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона)

секущей может быть найден из : (см. Рис.1). Тогда угловой коэффициент касательной

. (1)

Пусть функция определена на промежутке X. Возьмем точку . Дадим значению х приращение , тогда функция получит приращение

Определение. Производной функции предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремления последнего к нулю (если этот предел существует и конечен)

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой па этом промежутке.

Действие нахождения производной называется дифференцированием, а функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой.

Геометрический и экономический смысл производной.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке , т.е..

.

Экономический смысл производной.

Пусть предприятие выпускает однородную продукцию. Тогда издержки производства y можно считать функцией количества выпускаемой продукции x, y=f(x). Предположим, что количество выпускаемой продукции изменилось на , тогда издержки производства изменяются на : .

Разделим приращение издержек производства на приращение выпускаемой продукции: . Это равенство выражает среднее приращение издержек производства на единицу приращенной продукции, перейдем к пределy,

.

Этот предел в экономике называется предельными издержками производства. Таким образом, производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и другие предельные величины.