ВЕКТОР СКОРОСТИ ТОЧКИ
Рисунок 4
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент t 1 приходит в положение M l, определяемое вектором (рис. 116). Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором , который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (рис. 4, а), и вдоль самой траектории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 4, б).
Из треугольника ОМ M1 видно, что , следовательно,
.
Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени Δt:
Направлен вектор так же, как и вектор , т. е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ 1 в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от деления на Δt направление вектора не изменяется).
|
|
Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени Δt, для которого вычислена средняя скорость, тем велича будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.
Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени Δt к нулю:
Предел отношения при представляет собой первую производную от вектора по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом dr̅/dt. Окончательно получаем
Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.
Так как предельным направлением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Формула (8) показывает также, что вектор скорости v̅ равен от-
отношению элементарного перемещения точки d r̅, направленного по
касательной к траектории, к соответствующему промежутку вре-
времени d t.
При прямолинейном движении вектор скорости v̅ все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно; при криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки. Размерность скорости L/T, т. е. длина/время; качестве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч. Вопрос об определении модуля скорости будет рассмотрен в позже.
|
|