Рассматривается движение тела (ракеты) относительно двух систем отсчета – неподвижной с ортами и подвижной с ортами (рис. 4.13).
Необходимо определить абсолютную ориентацию тела по известной ориентации подвижной системы и относительной ориентации, информация о которой может быть передана в неподвижную систему любым способом, например, в виде телевизионной картинки или в числовом виде посредством направляющих косинусов , измеряемых подвижным наблюдателем.
Тензор поворота, описывающий «абсолютную» ориентацию: , ; описывающий переносное движение: .
Рис. 4.13.Сложное движение тела |
Тензор поворота относительной ориентации введем в виде: , , т. е. этот тензор действительно описывает то движение, которое «видит» подвижный наблюдатель, одушевленный или неодушевленный (например, телекамера) и которое неподвижный может наблюдать на экране телевизора.
Таким образом,
. (4.35)
Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей имеет вид:
|
|
(4.36)
Вектор углового ускорения
, или
. (4.37)
Существует и другая интерпретация [4] сложного движения, которая в описании ориентации по сути не отличается от изложенного подхода, а вот в части определения относительной угловой скорости отличается существенно.
Тензор поворота переносного движения, как и ранее, .
Тензором относительного поворота называется . Действительно, матрица компонент этого тензора, записанного в базисе , описывает относительную ориентацию .
Очевидно, что тензор поворота абсолютного движения
Сразу же отметим, что – это повернутый вместе с подвижной системой «истинный» тензор поворота относительного движения :
,
так что – формула (4.35).
Векторы абсолютной и переносной угловых скоростей вводятся обычным способом в соответствии с формулой Пуассона: , а вот вектор относительной угловой скорости определяется таким образом, чтобы формула сложения угловых скоростей имела привычный (см. любой учебник) вид:
. (4.38)
Для этого вводится формулой
, (4.39)
где – производная Яуманна, известная в теоретической механике как относительная производная.
Так, если вектор задан координатами в подвижном базисе , то полная производная по времени имеет вид:
,
где подчеркнутое слагаемое – относительная производная, т. е. производная, которую вычислял бы подвижный наблюдатель, для которого базисные векторы неподвижны.
Таким образом, . Совершенно аналогично для тензора
. (4.40)
Дифференцируя и заменяя по (4.40), (4.39), придем к (4.38).
Собственно говоря, из (4.36) следует, что , т. е. это повернутый вместе с подвижной системой (вместе с телевизором) «истинный» вектор угловой скорости относительного движения . При графоаналитическом решении задач, когда, разумеется, рассматривается актуальное состояние, именно изображается на рисунках.
|
|
В качестве примера можно рассмотреть, например, вращающуюся вокруг неподвижной оси с ортом платформу, относительно которой вокруг оси с ортом вращается тело (рис. 4.14).
Рис. 4.14. Сложное движение |
Введем подвижную систему отсчета, связанную с платформой. Тензор поворота переносного движения . Тензор поворота относительного движения («истинный») , где – орт оси поворота тела в отсчетном положении. Заметим, что для подвижного наблюдателя постоянный вектор остается неподвижным и впредь. Разумеется, по (4.35),(4.36)
, (4.41)
.
При втором подходе , , (вектор считается постоянным). Так как , то по теореме (4.12)
и, как отмечалось ранее, получим (4.41).