Дифференциальное уравнение (7.1)имеет вид:
(7.7)
По методу Эйлера решение будем искать в виде Подставляя его в (7.7), получим характеристическое уравнение:
,
откуда определяются собственные числа
Общее решение имеет вид:
, (7.7а)
а) |
Рис. 7.4. Затухающие колебания |
x |
t |
б) |
T |
где и определяются из начальных условий. Рассмотрим три возможных случая.
а) Большое сопротивление: В этом случае собственные числа и вещественные, и решение (7.7а) тоже вещественное; его для удобства часто записывают в виде:
, (7.7б)
где гиперболические функции, удобные для определения постоянных из начальных условий, поскольку
.
Подставим начальные условия:
,и
(7.7в)
Эскизы графиков движения в зависимости от начальных условий могут иметь вид, представленный на (рис. 7.4,а). Эти движения принято называть апериодическими (непериодическими) колебаниями, хотя они и не имеют колебательного характера.
б) Предельно–апериодическое движение: В этом случае собственные числа кратные и, как известно из математики, частные решения имеют вид и , так что общее решение . Впрочем, это решение, как и в случае резонанса (см. раздел 7.1.2), получается предельным переходом при из общего решения (7.7в). Замечая, что для малых , получим:
|
|
Характер движения вполне описывается эскизами (см.рис. 7.4,а).
в) Малое сопротивление: (затухающие периодические колебания). Собственные числа комплексные и формально записанное решение тоже комплексное. С помощью формулы Эйлера оно принимает вид:
.
Разумеется, если найти постоянные из вещественных начальных условий, мнимая часть решения «исчезнет» (станет равной нулю):
.
Таким образом,
. (7.7г)
Обычно это вещественное решение сразу записывают в виде суммы вещественной и мнимой частей, умноженных на константы, определяемые из начальных условий: .
Действительно, если комплексная функция является решением линейного уравнения с вещественными коэффициентами, то решениями являются ее вещественная и мнимая части.
Решение может быть записано в виде одной гармоники (рис. 7.4,б):
.
Частота колебаний , «период» .