Найдем матрицы инерции и жесткости для элемента первого порядка длиной Имеем
Разобьем стержень длиной на два элемента длиной (рис. 7.13,в) и, складывая кинетические и потенциальные энергии элементов, с учетом выполнения получим:
Уравнения Лагранжа имеют вид:
Отыскивая решение в виде получим:
и, приравнивая нулю определитель, получим частотное уравнение:
откуда ,
Точные значения собственных частот равны:
.
Первая собственная частота превышает точную на вторая .
Заметим, что превышение приближенных значений собственных частот над точными значениями неслучайно – при использовании в приближенном решении аппроксимации перемещений система с бесконечным числом степеней свободы всегда «мягче» построенных дискретизацией расчетных моделей.