Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности:
(1)
2) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
(2)
Оба свойства доказываются аналогично. Равенства (1) и (2) следует понимать в том смысле, что левая и правая их части отличаются на постоянные слагаемые.
Докажем, например, (2). Продифференцируем его:
Т.е. левая и правая части равенства (2) являются первообразными для одной и той же функции.
Свойство доказано.
3) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от неопределенного интеграла - подынтегральному выражению:
4) Неопределенный интеграл инвариантен относительно замены переменной х любой дифференцируемой функцией, т.е. если , то
Если записать последнюю формулу подробнее, то получим:
Докажем справедливость этого равенства дифференцированием левой и правой частей:
|
|
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.
I. Если то
Действительно, дифференцируя левую и правую части этого равенства, получим:
Производные от правой и левой частей равны.
II. Если то
III. Если то
Эти равенства доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.
Итак, свойства неопределенного интеграла будут использованы в различных методах его вычисления.
Таблица основных формул интегрирования
Из определений первообразной и неопределенного интеграла, а также таблицы производных вытекает таблица основных интегралов, которую целесообразно записывать, используя свойства инвариантности неопределенного интеграла, для переменной интегрирования u, которая является некоторой дифференцируемой функцией от х.
Проверим справедливость этой формулы:
Получили подынтегральную функцию.
Аналогично проверяются следующие формулы:
а) Если u > 0, то первообразной будет функция F(u) = lnu.
Проверяем:
б) Если u < 0, то
Следовательно, или: