1. Найдите радиус сходимости и область сходимости ряда
.
Решение. Воспользуемся формулой Коши-Адамара.
.
Область сходимости −.
2. Разложите в ряд Тейлора в окрестности точки x = 2 функцию.
Решение. Применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии
, где a 1− первый член прогрессии, q − знаменатель прогрессии.
Только на этот раз мы не будем считать сумму прогрессии, а наоборот, от суммы перейдем к ряду.
Действительно,.
Тогда.
3. Разложите в ряд Тейлора с центром в точке x 0= 0 функцию f (x) = arctg x в ее области сходимости.
Решение. Рассмотрим производную.
Разложим эту функцию в ряд Тейлора, используя сумму прогрессии:
.
Область сходимости этого степенного ряда | x | < 1.
Как известно, степенной ряд сходится равномерно внутри области сходимости, поэтому его можно интегрировать почленно. Проинтегрируем данный ряд и найдем таким
образом разложение для. Константа, возникающая при
интегрировании, равна нулю, так как f (0) = 0.
|
|
ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 5