Кафедра высшей математики
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА
методическое пособие для самостоятельного изучения
Санкт-Петербург
Составители:
Матусов Ю.А., Смоляр А.Э.
Рецензент:
Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук,
профессор Попечителев Евгений Парфирович
(Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет «ЛЭТИ»)
Пособие рассмотрено и утверждено
На заседании кафедры № 4 высшей математики
Протокол № ….. от ……….. 2015 года
©
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
§ 1. Эллипс. Определение и вывод канонического уравнения……...4
§ 2. Исследование формы эллипса…………………………………….6
§ 3. Эксцентриситет эллипса…………….…...…………………….….7
§ 4. Фокальные радиусы эллипса……………………………………...8
§ 5.Параметрические уравнения эллипса……………………………..9
§ 6. Гипербола. Вывод её канонического уравнения……….……….10
§ 7. Исследование формы гиперболы…………………………...……11
§ 8. Эксцентриситет гиперболы…………………………….…….…..13
|
|
§ 9. Фокальные радиусы гиперболы……..…….………………….….14
§ 10. Равносторонняя гипербола как график обратной пропорци-
ональной зависимости…………………………………………...14
§ 11. Директрисы эллипса и гиперболы………………………………17
§ 12. Парабола………………………………………….………………19
§ 13. Общее уравнение для эллипса, параболы и гиперболы...….….20
§ 1. Эллипс. Определение и вывод канонического [1] уравнения.
Определение: Эллипсом[2] называется множество точек плос-кости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных (лежащих в этой же плоскости) точек, именуемых фокусами[3], есть величина постоянная, бо́льшая, чем расстояние между фокусами.
Сумму вышеупомянутых расстояний обозначим как 2 а.
Обозначим фокусы как F1 и F2, а расстояние между ними, именуемое как фокусное расстояние, как 2 с (Рис. 1).
|
|
Тогда F1 F2 = 2 с (1),
F1 М + F2М = 2 а (2).
Из ∆ F1М F2 следует, что
F1 М + F2 М F1 F2,
т. е. 2 а или а (3).
Составим уравнение эллипса, выбрав ось ОХ так, чтобы она проходила через фокусы и имела положительное направление от
F1 к F2, а начало координат находилось посредине отрезка F1F2.
Тогда координаты некоторых вышеупомянутых точек будут
()F1(– с; 0), ()F2 (+ с; 0), ()М(х;у)
На основании теоремы Пифагора
и (4).
Подставляя выражения (4) в (2), получим
+ = 2 а (5).
= 2 а –
x2 + 2 cx + c2+y2= 4 a2 – 4 a + x2– 2 cx+ c2+y2
4 a = 4 a2 – 4 cx или a = a2 – cx
Возводя в квадрат последнее уравнение, находим
а2 (x2– 2 cx+ c2+y2) = а4– 2 а2cx + c2x2
а2x2– 2 а2cx + а2с2 + а2у2 = а4– 2 а2cx + c2x2
(а2 – c2) x2 + а2у 2 = а2 (a2– c2) (6).
Принимая во внимание (3), вводим обозначение
b2= а2 – c2 (7).
Тогда выражение (6) принимает вид
|
|
b2 x2 + а2у 2 = а2b2.
или (8).
Это выражение называется каноническим уравнением эллипса.