Примеры решения задач

Занятие 10

ДИНАМИКА

Примеры решения задач

3адача 2.10. На какой глубине в озере давление в n = 3,0 раза больше атмосферного давления p ₀ = 1,0·10⁵ Па? Плотность воды ρ = 1,0·10³ кг/м³.

Решение. Как показано выше (формула (2.12)), на глубине h давление . Используя условие , получаем

.

Отсюда находим:

, .

Заметим, что атмосферное давление равно давлению столба жидкости, высотой примерно 10 м.

Задача 2.11. Пусть имеется сосуд сложной формы. Нужно найти давление в точке А (рис. 2.9).

Решение. Возьмем на поверхности жидкости точку D и соединим ее с точкой А с помощью ломаной DCBA, последовательно расположенные звенья которой вертикальны и горизонтальны, и ломаная целиком лежит в жидкости. Тогда . Но , так как точки В и С находятся на одном уровне. В свою очередь (р ₀ ^_ атмосферное давление). Из этих равенств следует, что

,

где h – глубина точки А под свободной поверхностью жидкости. Таким образом, распределение давления по глубине не зависит от формы сосуда.

Задача 2.12. Какой выигрыш в работе дает гидравлический пресс?

Решение. Гидравлический пресс состоит из двух сообщающихся цилиндров разного диаметра с поршнями, под которыми находится жидкость (рис. 2.10). Если на малый поршень действует сила , то она создает давление , которое в соответствии с законом Паскаля передается во все точки жидкости. Вследствие этого на большой поршень со стороны жидкости будет действовать сила

,

где S ₂ – площадь большого поршня. Отсюда видно, что F ₂ > F ₁ в S ₂/ S ₁ раз, т.е. гидравлический пресс дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого поршня.

Найдем теперь работу А ₁, совершаемую силой , и работу А ₂, совершаемую силой . Если малый поршень опустится вниз на расстояние h ₁, то большой поднимется на расстояние h ₂. Тогда , . Если учесть, что объем жидкости, вытесненной из первого цилиндра, равен объему жидкости, поступившей во второй цилиндр, т.е. , то получим , и поэтому

.

Таким образом, гидравлический пресс выигрыша в работе не дает. Здесь так же, как и при работе других простых механизмов (блока, рычага, ворота и др.), обнаруживается справедливость так называемого «золотого правила механики»: «во сколько раз выигрывается в силе, во столько раз проигрывается в расстоянии».

Задача 2.13. В сообщающиеся сосуды налили сначала ртуть, а затем в один из сосудов – масло, в результате чего уровень ртути во втором сосуде стал выше на h ₁ = 2 см, чем в первом. Высота столба масла h ₂ = 30 см. Плотность ртути ρ₁ = 13,6·10³ кг/м³. Определить плотность ρ₂ масла.

Решение. Выберем в качестве поверхности одного уровня горизонтальную плоскость ОО ₁, проходящую по границе раздела масла и ртути (рис. 2.11). Давление в точках А и В этой поверхности одинаковое: . Учитывая, что

, ,

где p_а – атмосферное давление, получаем

,

откуда следует, что

, (1)

т. е. высоты столбов масла и ртути обратно пропорциональны их плотностям. Отсюда находим плотность масла:

, .