Пусть a – целое большее 1. Обозначив , его наименьший делитель имеем
. (1)
Если , то обозначив его наименьший простой делитель,
имеем
. (2)
Если , то аналогично получим
. (3)
и так далее, пока не придем к какому-либо . Тогда получим
. (n)
Перемножив (1), (2), (3),…,(n) и проведя сокращение получим следующее разложение на сомножители
. (A)
Допустим, что для a существует другое разложение
. (Б)
Тогда
. (В)
Правая часть равенства (В) делится на . Следовательно, по крайней мере, один из сомножителей левой части делится на . Пусть, например делится на (порядок следования сомножителей не играет роли). Тогда ( кроме 1 делится только на ). Сократив обе части равенства (В) на , получим
. (Г)
Применив преждние рассуждения к (Г), получим
. (Д)
и так далее пока, наконец, в одной части равенства, например, в левой не сократятся все сомножители. Но одновременно должны сократиться все сомножители левой части, так как равенство при превосходящих 1, невозможно.
Таким образом, второе разложение на простые сомножители тождественно первому.
|
|