Формулы фильтрации

Закон Дарси. При очень медленном движении жидкости в пористой среде (пласте), когда силы инерции ничтожно малы и ими можно пренебречь, для скорости фильтрации принят так называемый линейный закон фильтрации, или закон Дарси:

, (5.3.1)

где DH/l - потеря напора на единицу длины пласта (соответствует гидравлическому уклону ).

Коэффициент пропорциональности в формуле (2.36) называется коэффициентом фильтрации. Он характеризует одновременно фильтрационную способность среды и протекающей в нём жидкости. [К] = [см/с].

Закон Дарси можно выразить через коэффициент проницаемости k, характеризующий пористую среду, и динамический коэффициент вязкости m жидкости:

, (5.3.2)

g - удельный вес жидкости.

Расход жидкости Q, протекающий через площадь фильтрации f, определяется формулой:

. (5.3.3)

Закон Дарси в дифференциальной форме

, (5.3.4)

где s - направление, которое берётся вдоль струйки по скорости .

Для коэффициента проницаемости имеем

(5.3.5)

[k] = см².

1 дарси = .

Коэффициент проницаемости равен 1 дарси при абсолютной вязкости m = 1 сантипуазу, Dр =1 ат на длине 1 см, площади сечения 1 см² и расходе жидкости 1 см³/с.

При движении жидкости в крупнозернистых грунтах закон ламинарной фильтрации нарушается в связи с турбулентным характером течения. Такое нарушение может происходить и при ламинарном движении за счёт сравнительно высоких скоростей течения, при которых нельзя пренебрегать влиянием сил инерции.

Критерием существования ламинарной фильтрации является число Рейнольдса.

· По Н.Н. Павловскому .

При этом 7< Гe_кр < 5.

· По В.Н. Щелкачёву , 1< Гe_кр < 12.

· М.Д. Миллионщиков ввёл в формулу Рейнольдса внутренний масштаб породы (линейный размер ) l^*:

,

где k - коэффициент проницаемости, m - пористость; за характерную скорость принимается истинная скорость фильтрации, равная .

Тогда

. (5.3.6)

Критическое значение 0.022 < Гe_кр < 0.290.

Если фильтрация не подчиняется закону Дарси (нелинейна), то используют следующие представления:

· скорость U или дебит Q представляются степенной зависимостью от градиента давления

, (5.3.7)

где C и n некоторые коэффициенты;

· двучленной формулой для градиента давления вида

, (5.3.8)

где - - элемент струйки, b - коэффициент, зависящий от геометрии пористой среды, шероховатости и т.п.

Скорости фильтрации струек пропорциональны расходам (дебитам), поэтому двучленный закон сопротивления при нелинейной фильтрации может быть представлен уравнением индикаторной кривой для несжимаемой жидкости в виде

, (5.3.9)

графически изображаемой параболой.

Для газа (воздуха) будем иметь

,

где А₁ и В₁ - параметры, характерные для данного пласта и скважины.

Ø Л.С. Лейбензон, исходя из общей теории фильтрации, предложил определять скорость фильтрации по формуле:

;

здесь n - кинематический коэффициент вязкости, J - гидравлический уклон, k - проницаемость, B₁ - постоянная величина. При квадратичной турбулентной фильтрации показатель степени S = 2.