1) f (x) ≥0, при .
2) F (x) = .
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью Ох и лежащей левее точки х (рис. 5.1).
3) P (a X b) = .
Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью Ох, слева и справа прямыми х = а, х = b (рис. 5.2).
4) – условие нормировки.
Рис. 5.1 Рис. 5.2
Задача 5.1. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:
Найти: а) значение с; б) функцию распределения F (х)и построить ее график; в) Р (3≤ х <5)
Решение:
а) Значение с найдем из условия нормировки:
Следовательно,
+∞ 2 6 +∞ 6 6
∫ f (x)d x = ∫ 0d x + ∫ c (х - 2)d x +∫ 0 dx = c ∫ (х - 2)d x = с (х 2 / 2-2 х) =
-∞ -∞ 2 6 2 2
= c (36/2–12 – (4/2 – 4) = 8 с;
с =1/8.
б) Известно, что F (x) =
Поэтому,
если х ≤ 2, то F (x) = ;
если 2 < х ≤ 6, то F(x)=
х2 х = х2 /2-2 х - (4/2-4)) 1/8 (х2 /2-2 х +2)=1/16(х -2)2;
если х > 6, то F(x)= =
= х =
Таким образом,
График функции F (х)изображен на рис. 5. 3.
Рис. 5.3
в) Р (3≤ Х <5) = F (5) - F (3) = (5-2)2/16 - (3-2)2/16 = 9/16-1/16 = =8/16=1/2.
|
|
Задача 5.2. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти дифференциальную функцию распределения f (х).
Решение: Так как f (х) = F’ (x), то