Если расположение опытных точек похоже на расположение точек графика показательной функции, то ищем эмпирическую формулу в виде
(4.6) |
Если нанесем опытные точки на полулогарифмическую бумагу и они расположатся приблизительно на прямой линии, то мы окончательно убедимся в том, что зависимость y(x) выражается именно показательной функцией.
Для нахождения A и k можно применить метод выбранных точек. Для этого прологарифмируем равенство (4.6).
Полагая здесь , и обозначая , , приходим к уравнению
(4.7)
Зависимость (4.7) – это линейная функция. Для отыскания a и b можно применить один из рассмотренных выше способов. Но лучше всего воспользоваться методом средней (труднее ошибиться). В уравнении (4.7) возвратимся к старым переменным х и у и запишем его в виде
ах + b – lg y = 0 (4.8)
Делим все опытные точки на две группы и для каждой группы сумму невязок уравнения (4.8) приравниваем 0. Получаем систему двух уравнений с неизвестными а и b. Найдя а и b, находим А и k.
Пример. На основании опытных данных результаты разрядки конденсатора U (t) даются таблицей 3.
|
|
Таблица 3:
t | |||||||||||
U |
Если бы мы построили опытные точки на полулогарифмической бумаге, то убедились бы, что они располагаются приблизительно на прямой. Значит зависимость U (t) можно выразить формулой (4.6). Воспользуемся методом средней. Для этого равенство (4.8) запишем через переменные U и t
at + b – lg U = 0.
Здесь, как и прежде b = lg A, a = k lg e.
Разбиваем все опытные точки на две группы. В первую группу включаем первые шестьточек, во вторую – остальные пять точек. Найдём сумму невязок в первой группе и во второй группе и приравняем их к 0
b – lg 100 + a + b – lg 75 + 2 a + b – lg 55 + 3 a + b – lg 40 + 4 a + b – lg 30 + +5 a + b – lg 20 = 15 a + 6 b = 10.
6 a + b – lg 15 + 7 a + b – lg 10 + 8 a + b – lg 10 + 9 a + b – lg 5 + 10 a + b –lg 5 = =40 a + 5 b = 4,57.
После приведения всех подобных, получаем систему двух уравнений
|
80 – 48 b + 15 b = 13,71;
33 b = 66,3.
b = 2,01, a = = - 0,133,
k = = = – 0,31,
2,01 = lg a; a = = 102,3.
Таким образом, эмпирическая формула будет иметь вид