Вынужденные колебания. Чтобы колебания были незатухающими, нужно восполнять потери энергии, затраченной на работу против сил сопротивления

Чтобы колебания были незатухающими, нужно восполнять потери энергии, затраченной на работу против сил сопротивления. Это можно сделать, воздействуя на систему периодически действующей силой , где w — частота, а F₀ — амплитудное значение внешней силы.

Уравнение вынужденных колебаний получим из уравнений затухающих колебаний (21.32), записав в правой части вместо нуля выражение для вынуждающей силы, деленное на массу:

,

(21.47)

Если колебательная система первоначально покоилась, то при воздействии периодической силы она придет в колебательное движение с частотой, равной частоте вынуждающей силы, и с постоянно возрастающей амплитудой. Далее, когда потери энергии на работу против сил сопротивления будут компенсироваться работой вынуждающей силы, система будет колебаться с некоторой постоянной амплитудой.

Решение дифференциального уравнения (21.47) для этого случая будет иметь вид

,

(21.48)

Для нахождения амплитуды A и начальной фазы j вынужденных колебаний найдем первую и вторую производные по x:

и совместно с (21.48) подставим в (21.47). В результате получим

.

(21.49)

Для определения амплитуды A умножим (21.49) на комплексно-со­пря­жен­ное выражение, т.е. на

.

Тогда ,

откуда

.

(21.50)

Для вычисления начальной фазы вынужденных колебаний приравняем к нулю и мнимую часть (21.49):

,

откуда

.

(21.51)

Проанализируем теперь зависимости амплитуды и начальной фазы колебаний от частоты вынуждающей силы w. При w=0 . Эта величина называется статической амплитудой. Далее по мере нарастания частоты w амплитуда сначала возрастает, а затем при w ® ¥ A ® 0, т.е. при некоторой частоте вынуждающей силы зависимость A(w) будет иметь максимум. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при называется резонансом. Частота , при которой , называется резонансной.

Для нахождения резонансной частоты заметим, что амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения, когда подкоренное выражение в (21.50) минимально. В минимуме первая производная равна нулю:

,или ,

откуда после несложных преобразований находим

,

(21.52)

Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний найдем, подставив из (21.52) в (21.50):

.

(21.53)

Из (21.52) видно, что резонанс всегда наблюдается при частоте, меньшей, чем частота собственных колебаний системы, причем по мере роста коэффициента затухания b уменьшается как значение резонансной частоты, так и резонансной амплитуды (рис. 21.15).

Рис. 21.15

Как видно из формулы (21.51), при w=0 j=0, а при w ® ¥ j ® p. Графическая зависимость j(w) показана на рис. 21.16.

Рассмотрим теперь зависимость скорости системы, совершающей вынужденные колебания, от частоты вынуждающей силы.

Скорость системы в любой момент определяется выражением

,

Рис. 21.16

из которого видно, что амплитудное значение скорости

,

Согласно (21.50) это выражение можно записать в виде

или

.

(21.54)

Рис. 21.17

Нетрудно видеть, что при w ® 0 или w ® ¥ скорость v ® 0 и, следовательно, зависимость v(w) имеет вид, изображенный на рис. 21.17.

Приравнивая к нулю производную подкоренного выражения в (21.54), получаем w_р ® w₀, т.е. максимальное значение скорости (резонанс скоростей) наблюдается на частоте собственных колебаний системы и не зависит от значения коэффициента затухания.

Важной характеристикой резонансной кривой является ее ширина, т.е. интервал частот Dw вблизи от резонанса, в пределах которого A £ 0,7A_p. Можно показать, что ширина резонансной кривой однозначно связана с коэффициентом затухания — Dw = 2b, что позволяет определять этот важный параметр колебательной системы по графику зависимости A(w).

Исследование колебательных систем методом возбуждения в них вынужденных колебаний и последующего изучения резонансной кривой позволяет (также как и при изучении затухающих колебаний) определить коэффициент затухания и собственную частоту колебаний системы.