Внутренняя точка интервала называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство
().
Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции: Если () в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:
1.найти область определения функции;
2.найти производную функции;
3.приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
|
|
Необходимое условие экстремума функции: Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .
Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.
Достаточные условия экстремума функции: Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки . Заметим, что – вторая производная от функции , полученная повторным дифференцированием этой функции:
.
График функции называется выпуклым вверх в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)
График функции называется выпуклым вниз в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)
Достаточные условия выпуклости вверх (вниз) графика функции: Если в интервале , то график функции является выпуклым вверх в этом интервале; если же , то в интервале график функции является выпуклым вниз.
|
|
Точка графика функции, переходя через которую график функции меняет характер выпуклости, называется точкой перегиба. Если – абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки М(х,у) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов этой функции равен бесконечности:
или .
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции (в тех точках, в которых функция не определена).
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если существует предел функции равный b при :
или
Прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют пределы:
или .
При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана:
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность (нечетность), периодичность функции.
3. Найти точки разрыва.
4. Определить точки пересечения графика функции с осями координат.
5. Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
6. Определить интервалы возрастания и убывания функции.
7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости графика функции.
8. Определить асимптоты.
9. Найти предельные значения функции при аргументе, стремящемся к границам области определения.
В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение: Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв.
Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Справа от х = -1 график уходит вверх, а слева – вниз.
Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.
Вычислим производную:
.
Производная обращается в нуль при и .
Построим интервалы монотонности (рис. 3):
+ _ _ +
-2 -1 0 х
Рис. 3
Функция возрастает при и убывает при . Точка – точка максимума, а точка – точка минимума функции.
Найдем вторую производную:
.
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый вверх, а в интервале – выпуклый вниз. Точек перегиба функция не имеет.
Выясним, имеет ли функция наклонные асимптоты.
,
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при и при .
Построим график исследуемой функции:
Рис. 4