Рассмотрим интеграл типа , где R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки:
.
Действительно, и
= .
Тогда, подставляя в данный интеграл вместо , и полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.
Пример 13. Вычислить интеграл .
Решение: Подстановка дает:
= =
Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.
Если , то применима подстановка ;
если , то применима подстановка ;
если , то применима подстановка .
Пример 14. Вычислить интеграл .
Решение: Положим и найдем:
поэтому:
= = = .
Рассмотрим интеграл вида , где m и n – целые числа. Возможны следующие случаи:
1. Одно из чисел m или n – нечетное, например , тогда полагая , получим:
= = .
2. Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:
|
|
.
Пример 15. Вычислить интеграл .
Решение:
= = .