Рассмотрим следующие случайные события:
H1 – из первого ящика переложили во второй 2 белых шара;
H2 – из первого ящика переложили во второй 2 чёрных шара;
H3 – из первого ящика переложили во второй 1 белый и 1 чёрный шар;
B – в первом ящике осталось не более 2 х белых шаров;
С – шар, извлечённый из второго ящика, – белый.
Найдём вероятности событий H1, H2, H3.
; ; .
(; ; ; ).
1. Событие B состоит в том, что произошло или событие H1 (тогда в первом ящике остался только один белый шар), или событие H3 (при этом в первом ящике осталось два белых шара), т.е. В = H1 + H3. Так как события H1 и H3 несовместны, то
.
2. Для вычисления вероятности события C воспользуемся формулой полной вероятности.
События H1, H2, H3 образуют полную группу событий. Найдём условные вероятности события C:
; ; .
Поэтому
3. В третьем пункте задачи речь идёт о том, что надо найти вероятность события H3 («шары, переложенные во второй ящик, были разного цвета») при условии, что произошло событие C («из второго ящика достали белый шар»), т.е. следует найти . Эту вероятность найдём по формуле Бейеса:
|
|
.
Пример 2. Вероятность наступления события в каждом из n одинаковых и независимых испытаний равна p. В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится k раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее a раз и не более b раз.
a) p = 0,45, n = 8, k = 4; б) p = 0,02, n = 300, k = 5;
в) p = 0,7, n = 2100, k = 1500; г) p = 0,375, n = 1375, a = 525, b = 545.