Рассмотрим расчет переходного процесса в цепях с индуктивностью и с емкостью.
1. Цепь, содержащая элементы R,L
Расчетная схема приведена на рис. 6.5. Коммутация происходит замыканием ключа К.
Рис. 6.5. Расчетная схема с R, L элементами
Составляем уравнение по ЗНК для цепи после коммутации (ключ К замкнут) в соответствии с принятыми положительными направлениями тока и падений напряжения:
uL (t) + uR (t) = E.
Переменным состояния, которое определяет поведение цепи в переходном процессе, является ток в индуктивности. Относительно него и запишем уравнение.
Выражая падения напряжения uL (t) и uR (t) через ток iL (t) в цепи, получим дифференциальное уравнение первого порядка
(6.17)
Характеристическое уравнение имеет вид:
Величина L / R имеет размерность времени (с), называется постоянной времени и обозначается через τ.
Находим корень характеристического уравнения:
В соответствии с (6.9) решением уравнения (6.17) будет
Согласно табл. 6.2 установившееся и начальное значения тока в индуктивности: IL уст= E/R, iL +0 = 0.
|
|
Для момента времени t= t +0=0 можно записать:
откуда находим произвольную постоянную С:
С = iL +0− IL уст=− IL уст= − E/R.
Соответственно решение уравнения (6.17):
(6.18)
Проанализируем полученный результат.
Первое слагаемое в (6.18) представляет собой общее решение i общ(t) исходного дифференциального уравнения. При t→∞ оно стремится к нулю. Это значит, что оно характеризует переходный режим, затухающий с течением времени.
В теории переходных процессов общее решение уравнения, описывающего переходный процесс, называют свободной составляющей и обозначают iL св(t). Физически стремление к нулю свободной составляющей обусловлено наличием в цепи активного сопротивления, в котором имеют место необратимые потери энергии. Таким образом, с учетом принятых обозначений решение уравнения (6.17) имеет вид:
(6.19)
Именно в таких обозначениях будем искать решение и в дальнейшем.
Теперь выясним физический смысл постоянной времени τ.
Рассмотрим интервал ∆ t =τ и найдем, как изменяется свободная составляющая iL св(t) за данный промежуток времени. Для этого найдем отношение i L св(t +τ)/ iL св(t):
Полученный результат означает, что за интервал времени, равный постоянной времени цепи, свободная составляющая уменьшается в e раз.
С использованием (6.19) найдем, как изменяется напряжение на индуктивности в переходном процессе:
(6.20)
На рис. 6.6 приведены кривые изменения тока (а) и напряжения (б) на индуктивности в переходном режиме, построенные по выражениям (6.19) и (6.20).
а) б)
Рис. 6.6. Кривые тока (а) и напряжения (б) на индуктивности
в переходном процессе
|
|
Кривая тока iL (t) является результатом от сложения кривых свободной составляющей iL св(t) и установившегося режима IL уст. Как видно из графиков, ток iL (t) в индуктивности изменяется от значения, которое он имел до коммутации, а напряжение uL (t) в момент коммутации претерпевает скачок.
Отметим без доказательства, что проведенная в любой точке кривой переходного процесса касательная дает значение подкасательной, равное постоянной времени τ цепи. Данный факт позволяет по величине τ оценить время переходного процесса. Строго говоря, переходный процесс заканчивается в бесконечности. Но можно считать, что установившийся режим наступает в течение времени, равного (4...5)τ. Таким образом, если постоянная времени может быть определена без расчета переходного режима, то можно оценить время переходного процесса, зная параметры цепи.
Рассмотрим переходный процесс в той же цепи, но при отключении ее от источника. Расчетная схема приведена на рис. 6.7.
Рис. 6.7. Расчетная схема цепи
Ключ К отключает цепь от источника и замыкает ее накоротко перемычкой. До коммутации направление тока iL (t) в цепи обозначено стрелкой. В момент коммутации согласно закону коммутации ток ни по величине, ни по направлению не изменился. Составим уравнения по ЗНК для цепи после коммутации и решим его.
uL (t) + uR (t) = 0.
Выражая падения напряжения uL (t) и uR (t) через ток iL (t) в цепи, получим дифференциальное уравнение первого порядка
(6.21)
Характеристическое уравнение имеет вид:
Находим корень характеристического уравнения:
где τ= L/R − постоянная времени цепи.
В соответствии с (6.9) решением уравнения (6.21) будет
Согласно табл. 6.2 установившееся и начальное значения тока в индуктивности: IL уст= 0, iL +0 = E/R.
Для момента времени t= t +0=0 можно записать:
откуда находим произвольную постоянную С:
С = iL +0− IL уст= iL +0 = E/R.
Соответственно решение уравнения (6.17):
(6.22)
Напряжение на индуктивности в переходном процессе:
(6.23)
На рис. 6.8 приведены кривые изменения тока (а) и напряжения (б) на индуктивности в переходном режиме, построенные по выражениям (6.22) и (6.23).
а) б)
Рис. 6.8. Кривые тока (а) и напряжения (б) на индуктивности
в переходном процессе
Напряжение на индуктивности по величине в момент коммутации скачкообразно изменяется от нуля до E, а затем по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.
Поскольку за время, равное постоянной времени, ток и напряжение уменьшаются в e раз, то по кривой переходного процесса, например, тока можно легко найти величину постоянной времени. Действительно, для t= τ значение ординаты i τ кривой тока будет равно i τ= iL +0 / e =0,37 iL +0.
Данное соотношение целесообразно использовать для нахождения постоянной времени по экспериментальным кривым переходных процессов в цепях первого порядка.
2. Цепь, содержащая элементы R,С
Расчетная схема приведена на рис. 6.9. Коммутация происходит замыканием ключа К.
Рис. 6.9. Расчетная схема с R, С элементами
Составляем уравнение по ЗНК для цепи после коммутации (ключ К замкнут) в соответствии с принятыми положительными направлениями тока iС (t) и падений напряженияна емкости uС (t) и на активном сопротивлении uR (t):
uС (t) + uR (t) = E.
Переменным состояния, которое определяет поведение цепи в переходном процессе, является напряжение на емкости uС (t). Относительно него и запишем уравнение, полагая
(6.24)
Характеристическое уравнение имеет вид:
где τ= RC − постоянная времени цепи, имеющая размерность времени (с).
Находим корень характеристического уравнения:
В соответствии с (6.9) решением уравнения (6.24) будет
где UC уст − установившееся значение напряжения на емкости после коммутации.
Согласно табл. 6.2 установившееся и начальное значения напряжения на индуктивности: UC уст= E, uС +0 = 0.
|
|
Для момента времени t= t +0=0 можно записать:
откуда находим произвольную постоянную С:
С = uC +0− UC уст=− UC уст= E.
Соответственно решение уравнения (6.24):
(6.25)
Ток в емкости в переходном процессе:
(6.26)
На рис. 6.10 приведены кривые изменения напряжения (а) и тока (б) в емкости в переходном режиме, построенные по выражениям (6.24) и (6.25).
а) б)
Рис. 6.10. Кривые напряжения (а) и тока (б) в емкости
в переходном процессе
Кривая напряжения uС (t) является результатом от сложения кривых свободной составляющей uC св(t) и установившегося режима UC уст. Как видно из графиков, напряжение uС (t) в емкости изменяется от значения, которое оно имело до коммутации, а ток iC (t) в момент коммутации претерпевает скачок.
Рассмотрим переходный процесс в той же цепи, но при отключении ее от источника. Расчетная схема приведена на рис. 6.11.
Ключ К отключает цепь от источника и замыкает ее накоротко перемычкой.
Рис. 6.11. Расчетная схема цепи
До коммутации направление напряжения uС (t) в цепи обозначено стрелкой. В момент коммутации согласно закону коммутации напряжение ни по величине, ни по направлению не изменилось. Примем направление падения напряжения uR (t) на активном сопротивлении, как на рис. 6.11, и составим уравнение ЗНК:
uС (t) + uR (t) = 0.
Студентам предлагается самостоятельно решить данное уравнение и построить соответствующие графики. Запишем лишь окончательное решение:
Ток в емкости в переходном процессе
Знак минус в выражении для тока в емкости означает, что направление его противоположно принятому положительному направлению напряжений на рис. 6.11, т.е. физически происходит процесс разряда емкости.
6.1.5. Расчет переходного процесса