Примеры решения задач
1. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону = t 3 +3 t 2 (м), где, орты осей x и y. Определить для момента времени t = 1 c:
а) модуль скорости;
б) модуль ускорения.
Дано: = t 3 +3 t 2 t = 1 с. | Решение Вектор скорости определяем как первую производную радиус-вектора по времени. = = 3 + 6 t . |
υ =? =? |
В то же время вектор скорости, как и любой вектор можно представить через его компоненты = υ x + υ y + υ z .
Сравнивая это выражение с предыдущим, получим: υ x = 3 ; υ y = 6 t; υ z = 0.
Модуль скорости определяется через компоненты:
м/с.
Ускорение частицы равно производной от вектора скорости
, где компоненты Wx = 6 t, Wy = 6.
Модуль ускорения
= 8,48 м/c2 ≈ 8,5 м/c2.
Ответ: 1) = 6,7 м/c;
2) W = 8,5 м/c2.
2. Точка движется в плоскости xy из положения с координатами х 1 = у 1 = 0 со скоростью = a + bx (a; b – постоянные, ; – орты осей и х и у)
Определите: 1) уравнение траектории точки у (х); 2) форму траектории.
Дано: х 1 = у 1 = 0 = a x + bx y | Решение: Компоненты скорости υ x = а, υ у = bx. Так как υ x = , a υ = (х и у – компоненты радиус-вектора) = а; = bx. |
1) y (x) =? 2) форма траектории? |
Из последних выражений, исключая время, получаем или . Интегрируя, получим . Траектория является параболой.
|
|
Ответ: 1) у = ; 2) парабола.
3. Частица движется по окружности радиусом м, и путь изменяется со временем по закону , где м/с³. Найти: а) момент времени , при котором нормальное ускорение будет равно тангенциальному ; б) полное ускорение в этот момент времени.
Дано: м м/с³ | Решение а) Выражения для нормального, тангенциального и полного ускорений имеют вид: Wn = ; Wr = ; Из условия задачи получим уравнение относительно t 0: или . Отсюда для t 0 имеем: с; |
a) б) |
б) для полного ускорения из условия задачи получим
м/с2 м/с2.
Ответ: t 0 = 0,87 с, W = 15 м/с².
4. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью = 30 м/с. Найти значения следующих величин через две секунды τ = 2,0 с: а) скорости , тангенциального ускорения W τ, нормального ускорения Wn; б) радиуса кривизны траектории R.
Дано: = 30 м/с τ = 2,0 с | Решение Траектория движения тела показана на рисунке. Направление вектора , составляющих скорости , , а также , , через время τ также показано на рисунке. |
а) , W τ, Wn –? б) R –? | |
Введем систему координат XOY, как показано на рисунке, чтобы учесть независимость движений тела по горизонтали и вертикали. Проекция вектора скорости на ось OX остается всегда постоянной и равной . Проекция вектора скорости на ось OY растет со временем по закону = gt, так как вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Поэтому для модуля скорости тела получим
|
|
. (1)
Через две секунды значение модуля скорости будет равно:
м/с.
Из рисунка следует, что
, следовательно, значение нормального ускорения
Аналогично
отсюда тангенциальное ускорение
Радиус кривизны из выражения для нормального ускорения
Ответ: = 35,8 м/с; W τ = 5,4 м/с²; Wn = 8,2 м/с²; R = 1,6 м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.1. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: , , u z = 0, где а и w – константы. Найти модули скорости | | и ускорения , а также угол a между векторами и . По какой траектории движется частица?
(| | = а, = а w, a = p/2)
1.2. Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид , , z = 0, где а и w – константы.
а) определить радиус-вектор , скорость и ускорение частицы, а также их модули;
б) найти уравнение траектории частицы.
( = a (cosw t + sinw t ); = a;
= a w (-sinw t +cosw t ); | | = a w;
= - a w2 (cosw t +sinw t ); = a w2;
x 2/ a 2 + y 2/ a 2 = 1)
1.3. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S = A + Bt 2, где А = 8 м, В = -2 м/с2. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение Wn точки равно 9 м/с2. Найти модули скорости u, тангенциального W t и полного W ускорения точки в тот же момент времени t.
(t = 1,5 с, u = 6 м/с, W t= 4 м/с2, W = 9,8 м/с2)
1.4. Частица движется со скоростью = at (2 +3 +4 ) (а = 1,0 м/с2). Найти:
а) модуль скорости частицы в момент времени t = 1 с;
б) ускорение частицы и его модуль;
в) путь S, пройденный частицей с момента времени t 1 = 2 с до t 2 = 3 с;
г) какой характер имеет движение частицы? Почему?
(u = 5,4 м/с, = a (2 +3 +4 ), = 5,4 м/с2, S = 14 м)
1.5. Точка движется вдоль оси Х, причем координата изменяется по закону . Найти:
а) выражение для проекции на ось Х скорости и ускорения точки;
б) путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = T /8 до t = T /4.
(u х = -(2p/ T) a sin(2p / T) t, Wx = -(2p / T)2 a cos (2p/ T) t, S = 0,707 a)
1.6. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону
= 3 t 2 +2 t +1 . Найти:
a) скорость и ускорение частицы;
б) модуль скорости в момент времени t = 1 с;
в) приближенное значение пути S, пройденное частицей за 11-ю секунду движения.
(а) = 6 t +2 (м/с); б) = 6 (м/с2); в) | | = 6,3 м/с, S = 63 м).
1.7. Тело брошено под углом a к горизонту и в начальный момент времени имеет скорость . Построить качественные зависимости и как функции от времени движения тела до момента падения. Определить радиус кривизны траектории в момент времени t = t/4, где t – время движения до падения. Сопротивления движению нет.
(R = )
1.8. Тело в течение времени t движется с постоянной скоростью u0. Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t она равна 2u0. Определить путь, пройденный телом за время t. C читать что t< t <2t.
(S = + )
1.9. Т o чка движется по криволинейной траектории с постоянным тангенциальным ускорением w t = 0,5 м/с2. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 5 с от начала движения, если радиус кривизны траектории в этот момент времени R = 2 м.
(W = 3,2 м/с2)
1.10. Начальное значение скорости = 1 +3 +5 , (м/с), конечное = 2 +4 +6 , (м/с). Найти:
а) приращение скорости Δ ; б) модуль приращения скорости | Δ |;
в) приращение модуля скорости u.
(а) Δ = 1 +1 +1 м/с; б) | Δ | = 1,73 м/с, в) u = 1,57 м/с).
1.11. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени от начала движения ускорение точки Wn = 5,0 м/с2; вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором тангенциального ускорения угол a = 30 . Считая W t = const, найти закон изменения Wn = f (t).
(Wn = 7,5 t 2 м/с2).
1.12. Точка движется по дуге окружности радиусом R. Ее скорость зависит от пройденного пути S по закону , где k – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.
()
1.13. Тело брошено под углом a = 45° к горизонту с начальной скоростью u = 30 м/с. Определить радиус кривизны траектории R в максимальной точке подъема тела и в точке его касания с землей. Качественно постройте зависимости кинетической Wk, потенциальной Wp, и полной W энергии тела как функции времени. Сопротивления движению не учитывать.
|
|
(R 1 = 46 м, R 2 = 130 м)
1.14. Материальная точка движется по окружности радиусом R. Ее тангенциальное ускорение изменяется по закону W t = kt, где k >0. В какой момент времени t с начала движения модули нормального и тангенциального ускорения будут равны? Чему равно полное ускорение материальной точки в этот момент времени? Какой угловой путь j пройдет точка к этому моменту времени? Качественно изобразите закон изменения угловой скорости w как функцию времени.
(; ; j = 0,67 рад)
1.15. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что с некоторого момента за интервал времени t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение W n = 2,7 м/с 2. Определить угловую w0 и линейную 0 скорости в начале указанного интервала времени. Построить графики зависимости модулей ускорения и угловой скорости от времени на интервале движения:
= f (t); W t = f (t); w = f (t).
(w0 = 6,4 рад/с; 0 = 1,9 м/c)