Содержание лекции. Под этим общим названием объединяются группы методов анализа нелинейных систем, основанных на анализе амплитудно-частотных характеристик

Под этим общим названием объединяются группы методов анализа нелинейных систем, основанных на анализе амплитудно-частотных характеристик, возникающих в нелинейных системах. Он основан на принципе гармонического баланса разработанным Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым. Применительно к автоматическим системам принцип гармонического баланса разработан Е.П.Поповым. Этот метод определяет возможность возникновения в системе автоколебаний, условия возникновения устойчивого колебательного режима и параметры этого автоколебательного режима.

В дальнейшем будет рассмотрен анализ не всех видов нелинейных систем, а значительно узкий класс, в котором нелинейный элемент является безинерционным звеном со статической характеристикой. Зависимость между входной и выходной величиной в таких нелинейных элементах описывается нелинейными алгебраическими неравенствами. Если система содержит несколько таких нелинейных элементов (НЭ), то данный метод расчета пригоден в том случае, если возможно заменить эти НЭ одним с результирующей статической характеристикой. Для исследования таких нелинейных систем используется линейная теория частотных методов анализа автоматических систем. Она основана на гипотезе низкочастотного фильтра линейной части системы и на предположении о гармоническом характере свободного движения в нелинейной системе.

По этому методу исследования выбирается некоторая расчетная структурная схема, в которой нелинейный элемент (НЭ) выделен в качестве входного звена, а вся остальная линейная часть (ЛЧ) системы объединена в одну общую передаточную функцию, которая располагается после нелинейного элемента (рис. 2.23). Рассмотрим прохождение некоторого гармонического сигнала через нелинейный элемент в виде идеального реле. Если сигнал на входе НЭ является синусоидальным x(t) = Asin ω t, то на выходе НЭ получаем гармонический сигнал y(t) = F(x) = F(Asin ω t)

Функция F(Asin ω t) является периодической и может быть разложена в

ряд Фурье.

Y(t) = x + Σ (Bk sin ω k t+Сk cos ω k t)

Прохождение синусоидального сигнала через нелинейный элемент показано в расчетно-структурной схеме (рис. 2.21).

Рис.2.23. Расчетная структурная схема нелинейной системы

Следовательно, на линейную часть системы (ЛЧ) действует сигнал, содержащий весь спектр частот (после разложения их в ряд Фурье), которые возникли в нелинейном элементе (НЭ). В силу принципа суперпозиции в линейной части системы каждая гармоника действует независимо от остальных. Амплитуда каждой гармоники на выходе линейной части системы z(t) будет зависеть от динамических свойств этой линейной части. Изменение амплитуды высокочастотных гармоник показано на рисунке 2.24.

Величину такого изменения можно определить по амплитудной характеристике линейной части системы.

Пусть при заданном значении частоты входного сигнала ω1 амплитуда равна) (1ω A). Если при других частотах ω2 = 2 ω 1, ω3 = 3 ω 1, ω4 =4 ω 1, и т.д. амплитуды значительно меньше, то линейную часть (ЛУ) системы можно считать фильтром низких частот, который не пропускает высшие гармоники, порождённые нелинейным элементом и на выходе ЛЧ остается только первая гармоника.

Рис.2.24. Амплитудная характеристика линейной части системы

Таким образом, расчет колебаний в нелинейной системе производится при выполнении двух условий:

- на вход нелинейного элемента (НЭ) поступает гармонический сигнал с заданной частотой;

- линейная часть системы (ЛЧ) обладает свойством низкочастотного фильтра и гасит все высшие гармоники, порождаемые нелинейным элементом.

На выходе системе рассматривается только первая гармоника. На рис. 2.23 эта первая гармоника на графике z(t) показана жирной линией.

Прежде чем выполнять анализ нелинейной системы методом гармонической линеаризации необходимо преобразовать структурную схему системы так, чтобы в ней выделялась линейная часть системы и нелинейный элемент с соответствующей статической передаточной характеристикой. Так как в заданной структурной схеме есть нелинейное звено, то это существенно ограничивает возможности структурных преобразований по сравнению с структурными преобразованиями в линейных системах. Главная причина в том, что в нелинейных системах не выполняется принцип суперпозиции (когда реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакции на каждое воздействие). Кроме этого, в нелинейных системах не выполняется принцип коммутативности (перестановочности, когда ab = ba).

В связи с этим не все правила преобразования структурной схемы, которые используются для линейной системы, подходят для нелинейной системы.

Правила получения эквивалентной передаточной функции при последовательном, параллельном и встречно-параллельном соединении нелинейных звеньев такие же, как в линейных системах. Перемещение нелинейного звена через узел разветвления по направлению или против направления сигнала – то же аналогичные. Недопустимы следующие преобразования структурной схемы с нелинейными элементами:

- перемещение нелинейного звена через другое звено (кроме звена с запаздыванием), так как в нелинейной системе не выполняется принцип коммутативности;

- перемещение нелинейного звена через суммирующий узел, так как в нелинейной системе не выполняется принцип суперпозиции.

Определим для начала гармоническую передаточную функцию нелинейного элемента с однозначной характеристикой. Пусть на вход нелинейного звена в виде релейного элемента с зоной нечувствительности (рис.2.25, а) подан синусоидальный сигнал (рис. 2.25, б). На выходе релейного элемента возникает последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.25, в).

Рис.2.25. К определению гармонической передаточной функции

Высота импульсов соответствует выходной величине реле. Частота следования импульсов полностью совпадает с частотой входного синусоидального сигнала. Ширина импульса зависит от амплитуды входного сигнала A. С увеличением A ширина импульсов увеличивается.

Полученную функцию выходного сигнала разложим в ряд Фурье с учетом, что входной сигнал центрированный (x0 = 0) и расчет ведется по первой (основной) гармонике.

y(t) = B1 sin ω t + C1 cos ω t

Учитывая, что петли гистерезиса нет, то C1 = 0.

На вход релейного сигнала подана вся синусоида от ωt= 0 до ωt=2 π, поэтому величина двух полученных импульсов определяется уравнением

По рисунку 2.25, б видно, что реле срабатывает при входном сигнале

больше зоны нечувствительности или A sin ω t1 ≥ a1. На участке от 0 до ω t1 выходного сигнала нет. Следовательно, интегрирование надо осуществлять с момента ω t1. Поскольку выходной сигнал с реле симметричен, то можно изменить пределы интегрирования (так проще взять интеграл).

Интегрирование будет выполняться в пределах от ωt1 до π /2. Эта часть входного и выходного сигнала на рисунках 2.25 б, в заштрихована. Затем полученный результат надо учетверить, чтобы получить значение импульсов от всей синусоиды от ω t = 0 до ω t = 2 π. В результате определяем y(t)

В полученном уравнении выразим cos(ωt₁) через sin(ωt₁)

Значение sin ω t1 связано с амплитудой входного сигнала А и зоной нечувствительности реле а следующим соотношением

Asinωt = a или sinωt=a/A.

Подставим это значение sin ω t1 в выражение y(t) и получаем значение амплитуды выходного сигнала в зависимости от амплитуды входного сигнала и зоны нечувствительности реле

Чтобы получить передаточную функцию релейного элемента с зоной нечувствительности надо взять отношение первой гармоники выходного сигнала к входному сигналу. В данном случае входной сигнал – это амплитуда входного сигнала А. При изменении входного сигнала А изменяется значение передаточной функции. Поэтому она обозначается W(A).

Эту передаточную функцию еще называют: гармонический коэффициент преобразования нелинейного элемента, передаточная функция эквивалентного линейного звена, гармоническая передаточная функция (Г-ПФ). Гармоническая, так как она характеризует по амплитуду первой гармонике ряда Фурьевыходного сигнала.

Метод гармонической линеаризации релейного элемента называют амплитудной интерполяцией, так как полученная Г-ПФ характеризует зависимость амплитуды выходного сигнала от амплитуды входного сигнала и не зависит от изменения частоты входного сигнала. Такая амплитудная интерполяция для большинства инженерных расчетов дает достаточно адекватный результат расчета.