Сложносоставные суждения в математической логике образуются из простых с помощью логических связок и, или и не, выражающих три основных логических операции:
логическая связка не - отрицание суждений;
логическая связка или - конъюнкция суждений;
логическая связка и - дизъюнкция суждений.
Примеры сложносоставных суждений:
не А - неверно суждение А
С или В - истинно С или В
(х > 0) и (у > 0) - (х больше 0) и (у больше 0)
(глаза = синие) или (глаза = голубые)
Логическая связка не используется для выражения отрицаний. Примеры:
не (глаза = синие), - неверно, что глаза синие
не (А или В), - неверно, что выполняется А или В
не (любит (Саша, конфеты)) - неверно, что Саша любит конфеты
Наглядной иллюстрацией этих логических связок с предикатами служат следующие диаграммы:
Отрицание не А истинно или ложно в зависимости от истинности исходного суждения А. Свойства отрицания не как логической связки можно описать таблицей истинности:
Таблица истинности:
А не А
да | нет |
нет | да |
Свойства отрицаний:
|
|
НЕ1: Отрицание ложно, если суждение истинно.
НЕ2: Отрицание истинно, если суждение ложно.
Для понимания отрицаний важно уметь выражать их в позитивной форме. Приведем примеры отрицания математических неравенств и их позитивные переформулировки:
не (х = 0) º (х ¹ 0)
не (х ¹ 0) º (х = 0)
не (х > 0) º (х £ 0)
не (х < 0) º (х ³ 0)
не (х ³ 0) º (х < 0)
не (х £ 0) º (х > 0)
Свойства отрицаний, записанные в таблицу истинностности, могут быть описаны как факты на языке Пролог:
не (да, нет);
не (нет, да);
После ввода этих фактов в ЭВМ с помощью запросов можно перепроверить свойства отрицаний:
? не (А, нет)
А = да
? не (А, да)
А = нет
Логическая связка и в математической логике называется конъюнкцией. Таблица истинности конъюнкции: