Подмножества и доказательства

Операции пересечения, объединения, разности и дополнения позволяют формировать новые множества. Однако, как правило, мы не можем сказать, как одно множество соотносится с другим. Например, пусть даны два множества А и В. Пересечение А и В в некотором смысле "меньше" (или по крайней мере не больше), чем А. Действительно, все элементы множества А Ç В принадлежат также множеству А. Из этого наблюдения можно формально определить равенство множеств и различных выражений для того же множества. С помощью этих определений мы также в состоянии написать подходящие логические доказательства важных фактов, относящихся к множествам. Эти результаты хотя и очевидны, обеспечивают подходящие ситуации, в которых можно ввести некоторые из основных способов доказательств, используемых в дальнейшем.

Доказательство тождественного равенства множеств может быть основано на следующем определении:

Здесь символ "Û" означает "тогда и только тогда, когда" или "если и только если" и означает эквивалентность двух утверждений. В общем случае мы должны провести доказательство в обе стороны раздельно. Заметим, что эквивалентность может быть легко получена с помощью диаграммы Эйлера - Венна, однако не всегда можно начертить диаграмму, относительно которой можно быть уверенным, что она настолько отвечает требованиям, насколько необходимо.

Доказательство состоит из последовательности утверждений вида "если Р, то Q". Следовательно, если имеется последовательность P₀, P₁,..., P_n, такая что P₀ÞP₁, P₁ÞP₂,..., P_n-1ÞP_n, то мы имеем прямое доказательство P₀ÞP_n.

В следующих примерах мы покажем, как на практике применить вышеприведенные рассуждения.

Пример 2.

Доказать справедливость тождества: А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).

§ Пусть Тогда Следовательно, . Следовательно, Следовательно, доказано прямое включение рассматриваемых множеств. Обратное включение доказывается путем аналогичных рассуждений.¨