П.3. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями

Даже в таких популяциях, где особи размножаются несколько лет подряд (млекопитающие и птицы, многолетние растения), наличие сезонов размножения вносит некоторое запаздывание в процессы регуляции численности. Если же взрослые особи, размножающиеся в данном году, редко или никогда не доживают до того, чтобы размножиться в будущем году, как, например, у однолетних растений, мелких грызунов, многих насекомых, это оказывает существенное влияние на динамику их численности. В этом случае уравнение (2.6, Гл.2) следует заменить уравнением

N_{n +1} = F (N_n), (П.3.1)

где N_n - численность популяции в году n.

Наблюдения над динамикой численности показывают, что в таких системах при малых численностях N растет от одной генерации к другой, а при высоких - падает. Это свойство – резко расти при малых N и падать при больших, проявляется в экономике как закон «бумов и спадов». В таких случаях функция F - одноэкстремальная, вид ее изображен на рис. П.3.1.

Рис. П.3.2. Типы динамики численности в модели популяции с неперекрывающимися поколениями при разных значениях собственной скорости роста. а.– монотонный рост; б.– затухающие колебания; в.– двухточечный цикл; г.– четырехточечный цикл; д, е – квазистохастическое поведение.

Функция такого типа может быть описана с помощью различных формул. Ниболее широко распространена версия дискретного логистического уравнения, предложенная Мораном для численности насекомых (1950) и Рикером для рыбных популяций (1954):

, (П.3.2)

где, как и в логистическом уравнении (2.2, Гл.2), r -константа собственной скорости роста, K - емкость экологической ниши популяции. В зависимости от крутизны графика функции F (N ₁) (кривые a, b, c, d на рис. П.3.1) в системе могут возникать самые разнооразные режимы. С ростом r поведение усложняется. Монотонное стремление к равновесию (рис. П.3.2а) сменяется колебательным (рис. П. 3.2б). При дальнейшем увеличении r (увеличении крутизны кривой F (N ₁)) возникают циклы - аналоги предельных циклов для систем дифференциальных уравнений (рис. П.3.2 в, г). Если r еще больше растет – наблюдается квазистохастическое поведение – хаос. (рис. П.3.2 д,е). Модели такого типа являются простейшими детерминированными объектами, демонстрирующими квазистохастическое поведение.

Квазистохастическим поведением могут обладать и переменные в непрерывных нелинейных автономных системах трех и более дифференциальных уравнений. Следует отметить, что стохастичность может быть свойством, присущим самим детерминированным природным системам (Детерминированный хаос), и не зависит от того, какой математический аппарат, непрерывный или дискретный, используется.